si$a$ es un número real que$a \neq 0$, y$\cos x = \sqrt{\frac{\cot x}{\cot x -a^2}}$,$x$ está en qué cuadrantes trigonométricos?

Question

si $a$ es un número real que $a \neq 0$, y $\cos x = \sqrt{\frac{\cot x}{\cot x -a^2}}$, $x$ es en la que trigonométricas cuadrantes?

Cosas que he hecho hasta ahora: este problema es sobre todo diferente de la que yo había resuelto.Mi Idea era la de encender ambos lados,tome todo a un lado y luego resolverlo como ecuación.que yo no era un éxito. cualquier sugerencia se agradece, ya que no buscan solución completa.

ACTUALIZACIÓN

gracias a ganeshie8 consejos,he llegado a este derecho ahora$$\cos^2a=1+\sin a\times \cos a$$

Y me quedé aquí.

Answer 1

La ecuación tiene la solución del primer cuadrante$x=\frac{\pi}{2}$. Aparte de eso, el primer cuadrante no es posible. Tenga en cuenta que si$x\ne \frac{\pi}{2}$ y$x$ están en el primer cuadrante, y se define$\cot x$, entonces$\cot x\gt 0$.

Por lo tanto, si$\cot x\gt a^2$, entonces$0\lt \cot x-a^2\lt \cot x$, y por lo tanto$\frac{\cot x}{\cot x-a^2}\gt 1$. Así que nuestra raíz cuadrada es mayor que$1$, lo cual es imposible para un coseno.

Y si$a^2\gt \cot x$, estamos tomando la raíz cuadrada de un número negativo.

Answer 2

Se nos da: $$\cos x = \sqrt{\frac{\cot x}{\cot x - a^2}}$$

Para que esto sea cierto,

$$\sqrt{\frac{\cot x}{\cot x - a^2}} \in [-1,1]$$ Ahora, para cualquier$\sqrt{\frac{a}{b}} \in \mathbb R, \quad a>0 ,\quad b>0$

Para la primera condición ($a>0$), $$ \implica \cot x > 0 \implica \frac{\cos x}{\sin x} >0\\ \implica (2n-1)\frac{\pi}{2}<x<(2n+1)\frac{\pi}{2} \text{ y } x \ne 0 \quad \forall espacio \n \in \mathbb Z$$ Esto significa que $x$ está en los Cuadrantes I y IV.

Para la segunda condición ($b>0$), $$\implies \cot x - a^2 > 0 $$

Ahora podemos ver claramente que $$\cot x > \cot x - a^2 > 0\\ \implica \text{Numerador} > \text{Denominador}\\ \implica \frac{\cot x}{\cot x - a^2} > 1$$

Pero esto va en contra de nuestra hipótesis inicial.

La única solución es $\frac{\pi}{2} \space\implies x \in $ Ist Cuadrante