En el trabajo de las integrales para el último par de meses, he llegado a través de diferentes casos de la siguiente integral:
\begin{equation} I\left(x,a,k,n,m\right) = \int_0^x \frac{t^k}{\left(t^n + a\right)^m}\:dt \end{equation}
Donde $x,a\in \mathbb{R}^{+}$.
Aquí el método que he tomado es bastante simple, y era curioso como a otros 'Real' de los métodos Basados podría ser empleado con esta integral? También creo que con las condiciones que me he fijado en los parámetros que es convergente. Si soy capaz de expandir esas condiciones, podría usted por favor avise.
Interesado en casos especiales también!
El método que he tomado:
En primer lugar quería traer a la 'a' de la parte frontal:
\begin{equation} I(x,a,k,n,m) = \int_0^x \frac{t^k}{\left(a\left[\left(a^{-\frac{1}{n}}t\right)^n + 1\right]\right)^m}\:dt = \frac{1}{a^m} \int_0^x \frac{t^k}{\left(\left(a^{-\frac{1}{n}}t\right)^n + 1\right)^m}\:dt \end{equation} Aquí vamos a $u = a^{-\frac{1}{n}}t$ por Lo tanto,
\begin{equation} I(x,a,k,n,m) = \frac{1}{a^m} \int_0^{a^{-\frac{1}{n}}x} \frac{\left(a^{\frac{1}{n}}u\right)^k}{\left(u^n + 1\right)^m}a^{\frac{1}{n}}\:du = a^{\frac{k + 1}{n} - m}\int_0^{a^{-\frac{1}{n}}x} \frac{u^k}{\left(u^n + 1\right)^m}\:du = a^{\frac{k + 1}{n} - m}I(a^{-\frac{1}{n}}x,1,n,m) \end{equation}
A partir de aquí voy a utilizar $I$ en lugar de $I(x,a,n,m)$ para la facilidad de uso. El siguiente paso es hacer la sustitución $w = u^n$ yield:
\begin{equation} I = a^{\frac{k + 1}{n} - m}\int_0^{ax^n} \frac{w^\frac{k}{n}}{\left(w + 1\right)^m}\frac{\:dw}{nw^{\frac{n - 1}{n}}} = \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m}\int_0^{ax^n} \frac{w^{\frac{k + 1}{n} - 1}}{\left(w + 1\right)^m}\:dw \end{equation}
Aquí hacer la sustitución $z = \frac{1}{1 + w}$ yield:
\begin{align} I &= \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m}\int_1^{\frac{1}{1 + ax^n}} z^m \left(\frac{1 - z}{z}\right)^{\frac{k + 1}{n} - 1}-\frac{1}{z^2} \:dz = \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m}\int_{\frac{1}{1 + ax^n}}^1 z^{m - \frac{k + 1}{n} - 1}\left(1 - z\right)^{\frac{k + 1}{n} - 1}\:dz \\ &= \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m} \left[\int_0^1 z^{m - \frac{k + 1}{n} - 1}\left(1 - z\right)^{\frac{k + 1}{n} - 1}\:dz - \int_0^{\frac{1}{1 + ax^n}} z^{m - \frac{k + 1}{n} - 1}\left(1 - z\right)^{\frac{k + 1}{n} - 1}\:dz \ \right] \\ &= \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m} \left[B\left(m - \frac{k + 1}{n}, \frac{k + 1}{n}\right) - B\left( \frac{1}{1 + ax^n}; m - \frac{k + 1}{n}, \frac{k + 1}{n} \right)\right] \end{align}
Donde $B(a,b)$ es la Función Beta y $B(x; a,b)$ es la Función Beta Incompleta.
Y así, llegamos a:
\begin{equation} \int_0^x \frac{t^k}{\left(t^n + a\right)^m}\:dt = \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m} \left[B\left(m - \frac{k + 1}{n}, \frac{k + 1}{n}\right) - B\left(\frac{1}{1 + ax^n}; m - \frac{k + 1}{n}, \frac{k + 1}{n} \right)\right] \end{equation}
Aquí podemos observar que para la convergencia:
\begin{equation} m - \frac{k + 1}{n} \gt 0,\quad \frac{k + 1}{n} \gt 0,\quad n \neq 0 \end{equation}
Nota: cuando se $x \rightarrow \infty$ tenemos:
\begin{equation} \int_0^\infty \frac{t^k}{\left(t^n + a\right)^m}\:dt = \frac{1}{n}a^{\frac{k + 1}{n} - m} B\left(m - \frac{k + 1}{n}, \frac{k + 1}{n}\right) \end{equation}
