definición de un objeto libre en una categoría

Question

Mi libro tiene esta definición:

Deje $ A $ ser un objeto de una concreta categoría $ \scr{C} $, $ X $ un conjunto no vacío, y $ i: X \to A $ un mapa (de conjuntos). Decimos que $ A $ es libre en un conjunto $ X $ , siempre que por cualquier objeto, $ B $ $ \scr{C} $ y un mapa (de conjuntos) $ j: X \to B $, no existe un único morfismos $ \phi \in {\text{Hom}_{\scr{C}}}(A,B) $ tal que $ \phi \circ i = j $ (composición de funciones).

Pregunta 1: Wikipedia la definición dice que el mapa de $ i $ es un canónica de la inyección. La de arriba permite el mapa $ i $ a no ser inyectiva. Creo que una buena definición debe incluir la inyectividad de $ i $; estoy en lo cierto?

Pregunta 2: la definición de objetos libres extenderse a otras categorías de categorías concretas? Una definición pensé es: Vamos a $ \scr{C} $ $ \scr{D} $ dos categorías, y deje $ F := (F_{0},F_{1}) $ ser un functor de$ \scr{C} $$ \scr{D} $. Deje $ A $ $ X $ ser objetos en $ \scr{C} $ $ \scr{D} $ respectivamente. (Notación: Aquí, $ F_{0} $ es el mapa entre los objetos de la $ \scr{C} $$ \scr{D} $, e $ F_{1} $ es el mapa entre los morfismos de $ \scr{C} $$ \scr{D} $). Deje $ i \in {\text{Hom}_{\scr{D}}}(X,{F_{0}}(A)) $. Decimos que $ A $ es gratis en la $ X $ fib para cada objeto $ B $ $ \scr{C} $ y morfismos $ j \in {\text{Hom}_{\scr{D}}}(X,{F_{0}}(B)) $, no existe un único morfismos $ \phi \in {\text{Hom}_{\scr{C}}}(A,B) $ tal que $ {F_{1}}(\phi) \circ i = j $. De nuevo, no sé cuál es la condición para agregar en el morfismos $ i $ (si es que hay alguna, para agregar).

Como soy nuevo en la categoría de teoría, no sé si es interesante para crear una definición de objetos libres en la no-categorías concretas (creo que es).

Gracias a todos.

Answer 1

Deje $\mathscr{C}$ ser la categoría con un objeto (que voy a llamar "*") y sólo la identidad de morfismos, con el olvidadizo functor que envía el objeto a la de un elemento (que voy a llamar "1").

Por esta definición, cada mapa $i : X \to *$ $*$ libre en $X$.

Esto es bueno, porque coincide con la noción usual de libre de álgebra; $\mathscr{C}$ es, por ejemplo, equivalente a la categoría de álgebras para el álgebra universal sin operaciones, uno de los constantes símbolo $c$ y una relación $$x = c$$

La única álgebra para esta teoría es claramente la libre álgebra en cualquier número de generadores.

Una buena generalización de la noción de "libre" objeto a lo largo de las líneas de álgebra universal proviene de la noción de mónada, que corresponde a una clase especial de contigüidad.

Answer 2

Vamos a responder a la pregunta 2 de la primera. Lo que usted ha escrito es esencialmente el local universal de los bienes de una izquierda adjunto. En concreto, supongamos que tenemos un functor $U : \mathcal{A} \to \mathcal{S}$. Deje $X$ ser un objeto en $\mathcal{S}$. Un objeto en $X$ en relación al $U$" es un par $(F X, \eta_X)$ consiste de un objeto $F X$ $\mathcal{A}$ y un morfismos $\eta_X : X \to U F X$ $\mathcal{S}$ tal que, para cada objeto $A$ $\mathcal{A}$ y todos los morfismos $f : X \to U A$$\mathcal{S}$, no existe un único morfismos $\overline{f} : F X \to A$ $\mathcal{A}$ tal que $f = U \overline{f} \circ \eta_X$. Si existen objetos para todos los objetos en $\mathcal{S}$, entonces estos pueden ser montados en un functor $F : \mathcal{S} \to \mathcal{A}$ que queda adjunto a $U : \mathcal{A} \to \mathcal{S}$.

Ahora, la pregunta 1. Como Hurkyl ha indicado, la "inserción de los generadores" $\eta_X : X \to U F X$ puede no ser monic. Hay una clasificación completa de cuando esto sucede cuando $\mathcal{S} = \textbf{Set}$ $U : \mathcal{A} \to \textbf{Set}$ ha dejado adjoint $F : \textbf{Set} \to \mathcal{A}$:

• $U F X = 1$ para todos los conjuntos de $X$. Esto corresponde a la teoría algebraica (o "variedad" en el sentido del álgebra universal) con una constante de $a$ y el axioma $x = a$.

• $U F X = \emptyset$ al $X = \emptyset$ $U F X = 1$ lo contrario. Esto corresponde a la teoría algebraica con no constantes y el axioma $x = y$.

Ahora, ¿por qué es esto? Supongamos $\eta_X : X \to U F X$ no puede ser inyectiva de un conjunto $X$. Obviamente, $X$ debe tener al menos dos elementos para que esto suceda: así que supongamos $\eta_X (x_1) = \eta_X (x_2)$$x_1 \ne x_2$. Ahora tomar cualquier $A$$\mathcal{A}$. Si $U A$ está vacío, entonces no hay nada que hacer; de lo contrario, supongamos $a_1$ $a_2$ son elementos de $U A$. Podemos construir un mapa $f : X \to U A$ mediante la definición de $$f(x) = \begin{cases} a_1 & \text{if } x = x_1 \\ a_2 & \text{otherwise} \end{casos}$$ y por la característica universal de $F X$ existe un morfismos $\overline{f} : F X \to A$ $\mathcal{A}$ tal que $U \overline{f} \circ \eta_X = f$. Pero, a continuación, $$a_1 = f(x_1) = U \overline{f} (\eta_X (x_1)) = U \overline{f} (\eta_X (x_2)) = f(x_2) = a_2$$ así que nos vemos forzados a concluir que $U A$ tiene un solo elemento. Por lo tanto, si $\eta_X : X \to U F X$ no es inyectiva, entonces $U A$ está vacío o un singleton para todos los objetos de $A$$\mathcal{A}$. Por otro lado, el hecho de que no es un mapa de $\eta_Y : Y \to U F Y$ para todos los conjuntos de $Y$ significa que $U F Y$ está vacío si y sólo si $Y$ está vacía. Por lo tanto las posibilidades son dos de los ejemplos mencionados anteriormente.