Función de conteo principal; ¿Cuándo es cierto que$\pi(n) > \pi(2n) -\pi(n)$?

Question

Deje que$\pi$ sea la función de conteo principal.

¿Bajo qué condiciones se ha comprobado que$\pi(n) > \pi(2n) -\pi(n)$, en todo caso?

Answer 1

Según Wikipedia ,

PS

para% grande$${x\over\ln x-1}\lt\pi(x)\lt{x\over\ln x-1.1}$, con el límite inferior mantenido para$x$y el límite superior para$x\ge5393$. Así, la desigualdad$x\ge60184$se mantiene para$\pi(2n)\lt2\pi(n)$, ya que la desigualdad

PS

se mantiene para todos los $n\ge30092$ (es decir, desde$${2n\over\ln(2n)-1.1}\lt{2n\over\ln n-1}$). Si la desigualdad$n$falla para cualquier pequeño$\ln2\gt0.1$ se puede verificar "fácilmente".

Answer 2

He escrito el programa de Akiva Weinberger se sugirió anteriormente. Esta es una simple interpretación de la criba de Eratóstenes, en R.

n = 30092
top = 2*n
isPrime = rep(TRUE, top)
isPrime[1] = FALSE

nextprime = 2
while (nextprime < sqrt(top)){
  isPrime[seq(2*nextprime, floor(top/nextprime)*nextprime, nextprime)] = FALSE
  nextprime = min(which(isPrime[(nextprime+1):top])) + nextprime
}

#isPrime[n] is now TRUE if n is prime and FALSE otherwise

primePi = cumsum(isPrime) #prime counting function, denoted as pi above

f = primePi[seq(2, 2*n, 2)] - 2*primePi[1:n] 

which(f>0)

El resultado es la lista [1]. Es decir, $\pi(2k) > 2\pi(k)$ $k = 1$ y ningún otro $k <= 30092$. Como Barry Cipra mostró anteriormente, podemos probar el deseado de la desigualdad de los valores más grandes de de $k$ a partir de la conocida límites.

Si queremos considerar la posibilidad de que $\pi(2k) = 2\pi(k)$, se puede sustituir la última línea con which(f>=0). El resultado es [1, 2, 4, 10]. Y de hecho, tenemos $2 = \pi(4) = 2 \pi(2), 4 = \pi(8) = 2 \pi(4), 8 = \pi(20) = 2\pi(10)$.