Restricciones en la media y desviación estándar de una variable acotada

Question

Dada una variable aleatoria cuyos valores están entre el$0$$1$, no es difícil ver que la media o el valor esperado, es entre el$0$$1$, y la desviación estándar es de entre $0$$\tfrac{1}{2}$.

Sin embargo, no todas las combinaciones son posibles. Si $\sigma=0$, la media podría ser, de hecho, en todas partes en $[0,1]$, pero me inclino a creer que $\sigma=\frac{1}{2}$ sólo es posible si $E[X] = \frac{1}{2}$.

Estoy en lo cierto? Hay simples restricciones que involucran una variable limitada del valor esperado y la desviación estándar?

Edit: el Uso de la igualdad de $\sigma(X) = \sigma(X-\frac{1}{2})$ podemos conseguir la igualdad de $\sigma^2+(E[X]-\frac{1}{2})^2 = E[(X-\frac{1}{2})^2]$, la última expresión está limitada por $0$$\frac{1}{4}$, con lo que conseguimos que las posibles combinaciones debe estar en la mitad superior del círculo (en el $\sigma-\mu$ plano) de radio $\frac{1}{2}$$\sigma=0,\mu=\frac{1}{2}$. Podemos obtener un mejor resultado, o cualquier combinación en el círculo de ser alcanzado?

Answer 1

Tim Jones respuesta es de hecho el mismo como lo han encontrado.

Un enfoque alternativo sería tenga en cuenta que para cualquier media de $\mu$ de la varianza $\sigma^2$ y la desviación estándar $\sigma$ se maximiza cuando la variable aleatoria sólo toma los valores de $0$ o $1$, es decir, un Bernoulli variable aleatoria que toma el valor de $1$ con una probabilidad de $\mu$ y el valor de $0$ con una probabilidad de $1-\mu$. En tal caso, la media es $\mu$ y la desviación estándar $\sigma = \sqrt{\mu(1-\mu)}$.

De cualquier menor no negativo de la desviación estándar se puede lograr, por ejemplo, cuando la variable aleatoria toma el valor de $1$ con una probabilidad de $k\mu$, el valor de $0$ con una probabilidad de $k(1-\mu)$ y el valor de $\mu$ con una probabilidad de $1-k$, dando una media de $\mu$ y una desviación estándar $\sigma = \sqrt{k\mu(1-\mu)}$$0\le k\le 1$. Así que en general (correspondiente a Tim Jones resultado) $$0 \le \sigma \le \sqrt{\mu(1-\mu)}.$$

Este es de hecho un semi-círculo, como puede ser reescrito por completar el cuadrado como $\sigma \ge 0$ $$\sigma^2 +\left(\mu-\frac12\right)^2 \le \left(\frac12\right)^2$$ es decir, como usted dice "de radio $\frac{1}{2}$$\sigma=0,\mu=\frac{1}{2}$".

Answer 2

Es mucho más fácil hacer esto en términos de la varianza, pero sí, con el hecho de que $X \in [0,1]$, podemos obtener algún tipo de límite en la que la Variación en términos de la Expectativa; \begin{align*} Var(X) &= \mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2\\ &= \sum x^2p(x) - \left(\sum xp(x)\right)^2 \end{align*} Así, podemos manipular sin embargo, esto no nos gusta - uno de esos bound puede ser encontrado así \begin{align*} \sum x^2p(x) - \left(\sum xp(x)\right)^2 &\leqslant \sum xp(x) - \left(\sum xp(x)\right)^2\\ &= \mathbb{E}(X)(1-\mathbb{E}(X))\\ \implies Var(X) &\leqslant \mathbb{E}(X)(1-\mathbb{E}(X)) \end{align*}

El mismo tipo de truco funcionará en el caso continuo uso de las integrales y las densidades en lugar de sumas y las masas, así que, sí, es sólo posible para una desviación estándar de $\frac{1}{2}$ (Variación $\frac{1}{4}$) de existir, donde la expectativa es $\frac{1}{2}$, mediante la maximización de que obligado, y no, no todas las combinaciones son posibles. Si yo tuviera que elegir una expectativa y la varianza de $1\over 4$, me iba a encontrar ninguna variables aleatorias en $[0,1]$ la satisfacción de este.