Mostrar que la matriz cuadrada A es invertible.

Question

La pregunta es: La matriz cuadrada $A$ satisface $p(A) = 0$ donde $p(x)$ es un polinomio tal que $p(0) \ne 0$. Mostrar que $A$ es invertible.

Estoy perdido, no sé si hay algo más que tengo que aprender a hacer esto. He llegado hasta aquí (estoy más probable es que no en la pista de la derecha):

$$ p(A) = a_0I+a_1A+a_2A^2+ ...+a_nA^n $$ $$ p(0) = a_0I+(a_1\cdot 0)+(a_2\cdot 0^2)+\ldots +(a_n\cdot 0^n) $$ $$ p(0) = a_oI$$ $$ p(A) = p(0)+a_1A+a_2A^2 +\ldots +a_nA^n $$

No sé bien qué hacer más. Sé que si $AX=B$ donde $A$ es la plaza de la matriz, $B$ es una matriz de vectores, si sólo hay una solución $X$ todos los $B$, $A$ es invertible.

Answer 1

Si$p(0)$ es distinto de cero, entonces$a_0$ es distinto de cero. Por lo tanto, uno tiene:$$I=-\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{a_0}A^i=-A\sum_{i=0}^{n-1}\frac{a_{i+1}}{a_0}A^i.$ $

Answer 2

Hay una manera simple de hacer esto sin necesidad de manipular una expansión del polinomio, o saber nada acerca de los determinantes o característica de polinomios.

En primer lugar, recordemos que el $A$ no es invertible si y sólo si existe una no-vector cero $\bf{x}$ tal que $A{\bf x} = {\bf 0}$. Supongamos que existe un vector.

Desde $p(A)$ es una suma de matrices ($a_n A^n + \dots + a_1 A + a_0 I$) podemos calcular ${\bf x}^T p(A) \bf{x}$. El hecho de que $A {\bf x} = 0$ implica que el ${\bf x}^T A^n {\bf x} = {\bf 0}$ cualquier $n>0$, por lo que tenemos que ${\bf x}^T p(A) {\bf x} = {\bf x}^T a_0 {\bf x} = p(0) \left| {\bf x} \right|^2$. Puesto que se nos dice que $p(A) = 0$,$p(0) \left| {\bf x} \right|^2 = 0$. Desde ${\bf x}$ es distinto de cero, debemos tener $p(0) = 0$, contradiciendo la suposición de que $p(0) \ne 0$.

En resumen: estamos dado que el $p(A) = 0$ y $p(0) \ne 0$. Si $A$ es no una matriz invertible, entonces el argumento de los dos párrafos anteriores muestra que las condiciones de $p(A) = 0$ $p(0) \ne 0$ no puede mantener. Por lo $A$ debe ser invertible.

Answer 3

$p(0)\neq 0$ implica que$0$ no es una raíz del polinomio característico$p(x)$, que a su vez dice que$0$ no es un valor propio de$A$. Como$det(A)=$ producto de valores propios da$det(A)\neq 0$ lo que sugiere que$A$ es invertible.

Answer 4

Bien,

Si$p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ es el polinomio característico, se sabe por teoría que$a_0$ representa el determinante de la matriz. Como$p(0)=a_0 \neq 0$ esto significa que$\det A \neq 0$. Por lo tanto,$A$ es invertible.

Answer 5

Todos los valores propios de A deben ser raíces de P.

(Ver el vector propio X y P (A) X)

=> todos los eigennumbers de A no son cero => | A | no es cero => A es invertible