Calcule$\sum\frac1{2-A_k}$ para$(A_k)$ the$n$ th raíces de la unidad

Question

Si $1,A_1,A_2,A_3....A_{n-1}$ son $n^{th}$ raíces de la unidad, a continuación, probar que $$\dfrac{1}{2-A_1} + \dfrac{1}{2-A_2}+\cdots+ \dfrac{1}{2-A_{n-1}} = \dfrac{2^{n-1}(n-2) + 1}{2^n-1}$$

Lo que yo hice: he intentado utilizar algunos de los siguientes fórmulas: $$1+ A_1 +A_2+A_3+\cdots+A_{n-1} = 0$$

$$\dfrac{2^n - 1}{2-1} = (2 -A_1)(2-A_2)\cdots(2-A_{n-1})$$

y el hecho de que $|A_i| = 1$ para $i =1,2,3,\cdots,n-1$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(z-a_k) $$ así que $$ nz^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{z-a_k}\prod_{k=0}^{n-1}(z-a_k) $$ y por lo tanto, $$ \frac{nz^{n-1}}{z^n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{z-a_k} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{2-a_k}=\frac{n2^{n-1}}{2^n-1} $$ Restando el $k=0$ ($a_0=1$) plazo da $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2-a_k}=\frac{(n-2)2^{n-1}+1}{2^n-1} $$

Answer 2

Dos ingredientes para esta prueba:

• Los números de $A_k$ para $1\leqslant k<n$ e $A_n=1$ son las raíces del polinomio $X^n-1$.
• Si $Y=\frac1{2-X}$ entonces $X=\frac{2Y-1}Y$.

Por lo tanto, los números de $B_k=\frac1{2-A_k}$ para $1\leqslant k<n$ e $B_n=\frac1{2-A_n}=1$ son las soluciones de la ecuación $$\left(\frac{2Y-1}Y\right)^n-1=0$$ that is, the roots of the polynomial $$(2Y-1)^n-Y^n$$

Los términos del grado más alto de este polinomio son $$(2^n-1)Y^n-n2^{n-1}Y^{n-1}+\ldots$$ hence the sum of its roots is $$\sum_{k=1}^nB_k=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2-A_k}=\frac{n2^{n-1}}{2^n-1}$$ a partir de la cual el resultado deseado de la siguiente manera.