Representando la distribución de dirac en$H^1(\mathbb R)$ a través del producto escalar

Question

Ya en la dimensión $1$, $H^1$ es continuamente incrustado en $C_0$, sabemos que la distribución de Dirac $\delta_0 \in H^1(\mathbb R)'$. Luego, por la representación de Riesz teorema sabemos que no existe una única $u\in H^1(\mathbb R)$ s.t.

$$v(0) = \int_\mathbb R uv + \int_\mathbb R u'v'$$ for all $v\in H^1(\mathbb R)$.

que parece bastante extraño para mí. Somos capaces de "ver" esta función u ? Podemos obtener una gran cantidad de información especificando $v$ pero no soy capaz de ver lo que podría parecer, aparte del hecho de que es una función par (reemplace$v$$v(-\cdot)$).

• Estoy equivocado en alguna parte en todo esto ?
• Si no, podría ser que no hay una sencilla caracterización de $u$ ?

Gracias :)

Answer 1

La Dirac distribución en $H^1(\mathbb{R})$ representado por

$$u(t) = \frac12 e^{-\lvert t\rvert}.$$

Puede comprobar fácilmente que. Cómo encontrarlo: $H^1$ está bajo la transformada de Fourier isométricamente isomorfo al espacio de $L^2(\mathbb{R},1+\lvert \xi\rvert^2)$ (medible, por supuesto) las funciones que

$$\int_\mathbb{R} \lvert f(\xi)\rvert^2(1+\lvert\xi\rvert^2)\,d\xi < \infty.$$

La representación

$$v(0) = \langle v,u\rangle = C\cdot\int_\mathbb{R} \hat{v}(\xi)\hat{u}(\xi)(1+\lvert\xi\rvert^2)\,d\xi$$

sugiere tratando $\hat{u}(\xi) = K\cdot\frac{1}{1+\lvert\xi\rvert^2}$ donde $C$ $K$ son la normalización de las constantes en función de la definición de la transformada de Fourier. Así, el cálculo de la transformada de Fourier de $\frac{1}{1+\lvert\xi\rvert^2}$, sabemos que debe ser una constante múltiples de $e^{-\lvert t\rvert}$. Entonces uno sólo tiene que conectarlo a encontrar la constante.