¿Existe una fórmula para el determinante del producto de cuña de dos matrices?

Question

Yo iba por la página de Wikipedia para los productos exteriores de espacios vectoriales y podemos definir el determinante como el coeficiente de la parte exterior del producto de los vectores con respecto a la norma de base cuando los vectores son elementos en $\mathbb{R}^n$. Me preguntaba si había una manera de deducir la fórmula para el factor determinante del exterior (cuña) el producto de dos matrices a partir de esta definición.

En particular, vamos a $V$ ser un espacio vectorial finito y deje $\wedge^k V$ $k$- ésima potencia exterior de $V$ $T^k(V)/A^k(V)$ donde $A(V)$ es el ideal generado por todos los $v \otimes v$ $v \in V$ $T^k(V) = V \otimes V \otimes \cdots \otimes V$ es producto tensor de $k$ espacios vectoriales.

Deje $M$ ser un cuadrado $m\times m$ matriz. Hay una conocida fórmula para $\det(M \wedge M)?$

Estaba yo pensando que debe haber alguna buena fórmula como $\det(M \wedge M) = \det(M)\det(M)$ pero tengo una sensación de que esto no generalizar a los poderes superiores de la cuña de productos.

Answer 1

Sugerencia: Deje $\{e_1,\ldots, e_n\}$ ser una base de $V$. A continuación, el espacio $\wedge^p V$ tiene una base consta de los vectores de la forma $e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}$ para algunos estrictamente creciente secuencia $i_1<i_2<\ldots<i_p$ de los índices. El mapeo lineal $\wedge^pM$ asigna el vector $e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}$ a $M(e_{i_1})\wedge M(e_{i_2})\wedge\cdots\wedge M(e_{i_p})$. Calcular el determinante de esta lineal de asignación en los siguientes casos:

1. $M$ mapas de la base de vectores $e_{i_0}$ $\lambda e_{i_0}$y los otros vectores de la base $e_i,i\neq i_0,$ a sí mismos.
2. $M$ de los intercambiadores de dos vectores de la base, $e_{i_1}$$e_{i_2}$, y los mapas de los otros base de vectores $e_i, i\neq i_1, i\neq i_2,$ a sí mismos.
3. $M$ mapas de la base de vectores $e_{i_0}$ a el vector $e_{i_0}+ae_{i_1}$ para algunas constantes $a$ $i_1\neq i_0$ , y los mapas de los otros vectores de la base $e_i, i\neq i_0$ a sí mismos.

A continuación, mantenga en mente (=functoriality) que $\wedge^p(M\circ M')=\wedge^p(M) \circ \wedge^p(M')$ para todos lineal asignaciones $M,M'$ $V$ a sí mismo. Como otra sugerencia: Este método es un poco acerca de la combinatoria elemental. Usted tiene que contar el número de cambios de un tipo determinado, y recuerda la regla que se usa en la formación de triángulo de Pascal.