Pregunta sobre una función recursivamente definida

Question

Problema. Deje $(f_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de funciones de $f_n\colon [-1,\infty)^n\to\mathbb{R}$ que son definidos de forma recursiva de la siguiente manera:

$$f_1(x_1)=1+x_1,$$

$$f_n(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} (1+x_n)f_{n-1}(x_1,\ldots,x_{n-1}) & \text{if } f_{n-1}(x_1,\ldots,x_{n-1}) \le 1, \\ x_n + f_{n-1}(x_1,\ldots,x_{n-1}) & \text{otherwise}. \end{cases}$$

Deje $(g_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de funciones de $g_n\colon [-1,\infty)^n\to\mathbb{R}$ que se definen de la siguiente manera:

$$g_n(x_1,\ldots,x_n) = \prod_{k=1}^n (1+x_k).$$

Mostrar, por cualquier $n\ge1$ y cualquier $x_1,\ldots,x_n\in[-1,\infty)$, que si $f_n(x_1,\ldots,x_n) <1$, también tiene que $g_n(x_1,\ldots,x_n) \le1$.

Observaciones. He intentado hacer esto con la inducción, pero que no parece funcionar. Parece que necesito más de conocimiento complejo de la relación entre el $f_n$ $g_n$ a fin de resolver el problema. Claramente, ambos son polinomios multivariados. También parece que todos los términos en $f_n$ también están contenidas en $g_n$, pero no sé cómo podría ayudar.

La vida Real de la motivación. Tenga en cuenta que la cantidad de $g_n(x_1,\ldots,x_n)$ no es nada, pero de 1 dólar que se ha invertido en $n$ diferentes empresas con un porcentaje de respuestas (positivas o negativas) de $x_1,\ldots,x_n$, donde las ganancias de cada empresa han sido reinvertidos en la próxima aventura. La cantidad de $f_n(x_1,\ldots,x_n)$ es similar, salvo que los beneficios son no reinvertidos. El objetivo es mostrar que si la inversión en empresas sin reinvertir las ganancias resulta en una pérdida, entonces la reinversión de los beneficios no podría haber resultado en un beneficio.

Answer 1

Definir $\varphi(x)$ por $$ \varphi(x)=\left\{\begin{array}{}x&\text{if }x\le1\\\exp(x-1)&\text{if }x>1\end{array}\right.\la etiqueta{1} $$ Tenga en cuenta que $\varphi$ es monótona creciente y $x\le\varphi(x)$ todos los $x$.

Reclamo: $$ (1+x)\varphi(y)\le\left\{\begin{array}{}\varphi((1+x)y)&\text{if }y\le1\\\varphi(x+y)&\text{if }y>1\end{array}\right.\la etiqueta{2} $$ Prueba:

Si $y\le1$,$(1+x)\varphi(y)=(1+x)y\le\varphi((1+x)y)$.

Si $y>1$$x+y>1$,$(1+x)\varphi(y)\le\exp(x)\varphi(y)=\varphi(x+y)$.

Si $y>1$$x+y\le1$,$(1+x)\varphi(y)-\varphi(x+y)=(1+x)\exp(y-1)-(x+y)$.

Como una función de $x$, $(1+x)\exp(y-1)-(x+y)$ es lineal con una pendiente de $\exp(y-1)-1>0$. Por lo tanto, llega a su máximo en $x=1-y$, pero luego $$ \begin{align} (1+x)\exp(y-1)-(x+y) &\le\exp(x)\exp(y-1)-(x+y)\\ &=\exp(x+y-1)-(x+y)\\ &=0 \end{align} $$ Por lo tanto, $(1+x)\varphi(y)\le\varphi(x+y)$. $$\Box$$ Para que nadie se pierde más de lo que invierten, voy a suponer $x_k\ge-1$.

Tenga en cuenta que $g_0=\varphi(f_0)=1$. Supongamos que $g_{n-1}\le\varphi(f_{n-1})$, luego

si $f_{n-1}\le1$,$g_n=(1+x_n)g_{n-1}\le(1+x_n)\varphi(f_{n-1})\le\varphi((1+x_n)f_{n-1})=\varphi(f_n)$.

si $f_{n-1}>1$,$g_n=(1+x_n)g_{n-1}\le(1+x_n)\varphi(f_{n-1})\le\varphi(x_n+f_{n-1})=\varphi(f_n)$.

Por lo tanto, $g_n\le\varphi(f_n)$.

Conclusión: tal vez debería añadir que este dice que cuando $f_n\le1$ tenemos $g_n\le f_n$.

Answer 2

Como sugiere Gortaur, es necesaria alguna restricción adicional:

$f_1(3/2)=1+3/2=5/2$

$f_2(3/2,-2)=-2+5/2=1/2$

$f_3(3/2,-2,-2)=(1+(-2))(1/2)=-1/2<1$

$g_3(3/2,-2,-2)=(3/2+1)(-2+1)(-2+1)=5/2>1$

Answer 3

Así, usted tiene $$ f_{i+1} = f_{i}+\min\{f_i,1\}x_{i+1} $$ y $$ g_{i+1} = g_i+g_ix_{i+1} $$ con $f_0=g_0=1$. Suponemos que a partir de ahora que $x_i\geq 0$.

La idea es considerar por separado los intervalos de positivo o negativo de las tasas de $x_i$ debido a que en cada intervalo de la dinámica de $f_i$ es simple. Ponemos $$ 0=\tau_0<\sigma_1<\tau_1<\sigma_2<\tau_2<... $$ donde por $k\in \mathbb N$ definimos $\sigma_{k} = \inf\{i>\tau_{k-1}:f_i<1\}$$\tau_k = \inf\{i>\sigma_{k}:f_i\geq 1\}$. Esto significa que $\sigma_1$ será la primera vez que $f$ estará por debajo de los $1$ después de $\tau_0=0$, $\tau_1$ - la primera vez $f$ va a ir por encima de $1$ después de $\sigma_1$; $\sigma_2$ es la primera vez que $f$ va por debajo de $1$ después $\tau_1$ etc.

Formulamos el hecho de que usamos, se demuestra a continuación. Para todos los $k \geq 0$ sostiene que $$ \begin{cases} \text{if }g_{\tau_k}\leq f_{\tau_k}&\text{ then }g_{\sigma_{k+1}}\leq f_{\sigma_{k+1}},\quad(*) \\ \text{if }g_{\sigma_{k+1}}\leq f_{\sigma_{k+1}}&\text{ then }g_{\tau_{k+1}}\leq f_{\tau_{k+1}}.\quad (**) \end{casos} $$

Supongamos que, la declaración de $(*),(**)$ es cierto. Desde $g_{\tau_0} =g_0\leq f_0=f_{\tau_0}$, nos hemos basado en la declaración anterior: $g_{\tau_k}\leq f_{\tau_k}$ $g_{\sigma_{k+1}}\leq f_{\sigma_{k+1}}$ para todos los $k\geq 0$ $(***)$.

Vamos a demostrar que implica su declaración: para todos los $i\geq 0$ sostiene que $f_i<1\Rightarrow g_i\leq 1$.

1. Si $\tau_k \leq i<\sigma_{k+1}$ algunos $k\geq 0$ (el intervalo sin reinversión), a continuación, $f_i\geq 1$ y su declaración es verdadera.

2. Si $\sigma_k \leq i<\tau_k$ algunos $k\geq 1$ (el intervalo de la reinversión) entonces tenemos: $g_{\sigma_k}\leq f_{\sigma_k}<1$$(***)$. Por otra parte, la dinámica de la $g$ $f$ es el mismo en este intervalo, por lo que $$ \frac{g_i}{f_i} = \frac{g_{\sigma_k}}{f_{\sigma_k}} $$ en este intervalo y, por tanto,$g_i\leq f_i<1$.

Tuvimos considerar todos los casos posibles para $n$ y resultó aún más fuerte declaración: si $f_i<1$$g_i\leq f_i$. Sólo tenemos que demostrar $(*)$ $(**)$ ahora.

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Podemos probar, primero,$(*)$. Considerar arbitraria $k\geq 0$, y para la taquigrafía nos deja denotar $\tau_k = m$, $\sigma_{k+1}=n>m$ y suponemos que como en $(*)$ que $g_m\leq f_m$.

1. si $n = m+1$ $f_m\geq 1$ pero $f_{m+1} = f_m+x_{m+1}<1$$-1<x_{m+1}<0$. Tenemos: $$ g_{m+1} = g_{m}(1+x_{m+1})\leq f_m(1+x_{m+1}) = f_m + f_mx_{m+1}\leq f_{m+1} $$ desde $f_m\geq 1$$-1<x_{m+1}<0$.

2. supongamos ahora que $n>m+1$ y denotan $j = n-m-1>0$. Por eso, $f_{m+i}\geq 1$ todos los $0\leq i\leq j$ pero $f_{m+j+1} = f_{n} <1$. Recordemos que $$ f_{m+j} = f_m+\sum\limits_{i=1}^j x_{m+i}=: f_m+a. $$ Por otro lado, $$ g_{m+j} = g_m\prod\limits_{i=1}^j(1+x_{m+i})\leq g_m \exp\left\{\sum\limits_{i=1}^j x_{m+i}\right\} = g_m\mathrm e^{un}. $$ Como resultado tenemos: $$ g_n = g_{m+j+1} = g_{m+j}(1+x_n)\leq g_m\mathrm e^(1+x_n)\leq f_m\mathrm e^(1+x_n)\leq f_m+un+x_n = f_n $$ Aquí hemos utilizado las condiciones de $f_m\geq 1,a\geq 0,-1<x_n<-f_m-a$ durante los últimos desigualdad. Así que considerar todos los casos posibles, y resultó $(*)$.

La prueba de $(**)$ es mucho más fácil. Si $g_{\sigma_{k+1}}\leq f_{\sigma_{k+1}}$, a continuación, a menos que $i<\tau_{k+1}$ siempre reinvertir en ambos casos y $f,g$ se diferencian sólo por el mismo multiplicador. Por eso $g_{\tau_{k+1}}\leq f_{\tau_{k+1}}$.