es un entero.

Question

Quiero decir, por supuesto que $e^{e^9}$ no es un número entero, pero ¿podemos probar esto? Si está pensando en preguntarle a Wolfram | Alpha, tenga cuidado: da respuestas diferentes a las preguntas "es exp (exp (9)) un entero" (WA dice "No") y "es exp (exp (9.0)) un entero "(WA dice" Sí ").

Answer 1

Podríamos probar que no es un número entero por prestación de límites explícitos. Si realmente quería, se puede anotar las siguientes común de la desigualdad, de explotación por todos los positivos $n$: $$\left(1+\frac{1}n\right)^n<e<\left(1+\frac{1}n\right)^{n+1}.$$ Lo que produce una serie de racional de los límites para la $e$, donde ambas partes convergen a $e$ $n$ cabezas hasta el infinito. El punto aquí es que, si sabemos que $x$ está en el intervalo de $\left[\frac{a}n,\frac{b}{n+1}\right]$, entonces se sigue que $$\left(1+\frac{1}n\right)^{a}<e^x<\left(1+\frac{1}n\right)^{b}.$$ Una aproximación lo suficientemente grande entero $n$ rendimientos arbitrariamente apretado racional de los límites en $e^x$. A partir de esos límites, puede probar los límites en $e^{e^x}$. Me imagino que usted necesita para encontrar bastante estrechos límites, pero no es nada que un equipo no podía hacer.

Ahora averiguar si es racional... es una historia diferente.

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Bueno, se ha intentado que mi equipo lo anterior, resulta que $e^x$ crece muy rápido cerca de $x=e^9$, y que el de arriba de los límites de trabajo en la teoría, pero sólo lentamente. No muy a la corte a menos que su equipo es más grande que la mía. Podríamos cambiar los límites de lo que queremos, aunque - por ejemplo, un crudo obligado derivadas de la serie de $e^x$ (asumiendo $x$ es positiva y $n\geq 2x$). $$\left(\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{n!}\right)<e^x<\left(\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{n!}\right)+\frac{x^n}{n!}$$ converge mucho más rápido, y probablemente el rendimiento deseado enlazado con un poco de esfuerzo. También se podría tratar de redondeo racionales hacia abajo (en el límite inferior) y hasta (en el límite superior) para afeitarse un poco de tiempo libre haciendo exacta racional de la aritmética.

Answer 2

Consistencia a mi comentario en una respuesta: sabemos que $e^9\approx 8100$, de modo que la parte entera de la $e^{e^9}$ es de aproximadamente 12,000 bits. Esto significa que se puede obtener un valor suficiente precisión:

1. Computación $e$ a 'suficiente' exactitud (de ser conservador, $2^{16}$ bits debe ser suficiente aquí; no es difícil hacer más preciso el análisis de errores, pero el número es tan pequeño que podemos darnos el lujo de ser descuidada).
2. Computación $e^9$ a similar precisión (probablemente por la acaba de cuadrar $e$ tres veces y multiplicando por $e$, si yo iba a hacer esto con un manual rápido de aplicaciones) y, a continuación, computing $\frac{e^9}{8192}$ (un número diferente podría ser utilizado para hacer los siguiente pasos convergen más rápido, pero eso es sólo la afinación).
3. Computación $e^{e^9/8192}$; desde $\frac{e^9}{8192}\lt 1$, esto se puede hacer con bastante eficacia.
4. Por último, la informática, la $e^{e^9}=(e^{e^9/8192})^{8192}$ por repetir la cuadratura.

Como se ha mencionado, ninguna de estas operaciones necesitan trabajar en números mucho más de $2^{16}$ bits, lo que significa que todos estos valores se ajuste cómodamente en la memoria y nada va a tomar más de un par de millones de bits de operaciones para calcular. Usted probablemente podría hacer esto con la suficiente precisión en un procesador moderno en menos de un minuto. Y, fundamentalmente, explícita error límites están disponibles para los algoritmos para todas estas operaciones, de modo que usted puede asegurarse de que los errores no magnificar suficiente para pantano el resultado.