Baja semicontinuidad de la función indicadora: procesos estocásticos.

Question

Deje $X$ ser un proceso de Markov dada en un espacio métrico $\mathcal X$ por una transición semigroup $P_t$ actuando en $\mathbb B(\mathcal X)$ - el conjunto de todos los delimitada y Borel medible funciones. Una función de este tipo se dice que el ser $\mathcal C$-inferior semicontinuo (l.s.c.) si $$\mathsf P_x\{\liminf\limits_{t\downarrow 0}f(X_t)\geq f(x)\}=1$$ para cualquier $x\in \mathcal X$. Me pregunto bajo qué condiciones en $P_t$ una función de $1_A(x)$ l.s.c. para cualquier abierto $A$?

No debe confundirse con una definición habitual de un l.s.c. función que no está basado en los procesos.

Como entiendo que esto significa que, a partir de un conjunto abierto, con probabilidad uno el proceso permanece allí durante algún tiempo. Si no estoy equivocado, que vale para cualquier proceso con cadlag caminos ya que existe $\lim\limits_{t\downarrow 0}\,\,X_t = x$ así que si $x\in A$ - abrir, a continuación,$\lim\limits_{t\downarrow 0}1_A(X_t) = 1$.

Answer 1

Primer intento... :-)

Observe que $$\{\liminf_{t \downarrow 0} f(X_t) \geq f(x)\} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left\{\liminf_{t \downarrow 0} f(X_t) > f(x) - \frac{1}{n}\right\}.$$ Así, desde la $\left\{\liminf_{t \downarrow 0} f(X_t) > f(x) - \frac{1}{n}\right\}$ disminuye al $n \rightarrow \infty$, lo que quiere es que $$P_x\left\{\liminf_{t \downarrow 0} f(X_t) > f(x) - \frac{1}{n}\right\} = 1$$ para cada $n \in \mathbb{N}$. Es decir, para cada $\varepsilon > 0$, $$P_x\left\{\liminf_{t \downarrow 0} f(X_t) > f(x) - \varepsilon\right\} = 1$$

Así, la condición es equivalente a $$P_x\left(\bigcap_{t > 0} \bigcap_{0 < s < t} \{f(X_s) > f(x) - \varepsilon\}\right) = 1$$ para cada $\varepsilon > 0$.

Ahora, asumiendo $f = 1_A$, tenemos que si $x \not \in A$, entonces la ecuación anterior se cumple siempre. Para $x \in A$, la condición se convierte en $$P_x\left(\bigcap_{t > 0} \bigcap_{0 < s < t} \{f(X_s) = 1\}\right) = 1.$$ Pero este es el mismo como $$P_x\left(\bigcap_{t > 0} \bigcap_{0 < s < t} \{X_s \in A\}\right) = 1.$$ Dado que los conjuntos de $\bigcap_{0 < s < t} \{X_s \in A\}$ de aumento con $t$, podemos tomar una secuencia $t_j \downarrow 0$, y a la conclusión de que la condición se convierte en $$P_x\left(\bigcap_{0 < s < t} \{X_s \in A\}\right) \uparrow 1,$$ al $t \downarrow 0$.

No sé cómo pasar de este a $P_t$, puesto que yo no soy familiarizado con los procesos de Markov. Pero supongo que usted podría ser capaz de concluir lo que @George Lowther dijo en su comentario: el proceso se haga continua.