Significado de la notación f '(- x)

Question

¿Qué $f'(-x)$ esencialmente significa?

1. $\frac{df(-x)}{dx}$, o

2. $\frac{df(x)}{d(-x)}$, o

3. $\frac{df(x)}{dx}|_{x=-x}$ ?

No estoy seguro de si todas las opciones son diferentes, sin embargo! :)

EDIT 1:

Permítanme explicar lo que quiero decir con todas las opciones dadas. En todos los casos, $f(x)$ es la función original, decir $f(x)=x^3+2x$. Por favor, tenga en cuenta que muchas de las partes de la explicación son evidentes, aún así he mencionado sólo para evitar cualquier confusión.

1. $\frac{df(-x)}{dx}$ : Primero ponemos a $-x$ en lugar de $x$ $f(x)$ conseguir $f(-x)=-x^3-2x$. A continuación, podemos diferenciar $f(-x)$ w.r.t $x$ y obtenemos $-3x^2-2$

2. $\frac{df(x)}{d(-x)}$ : Esto significa que la diferenciación $f(x)$ w.r.t. $-x$, por lo que la aplicación de la regla de la cadena obtenemos el valor de $\frac{df(x)}{dx} \times \frac{dx}{dz} = (3x^2+2) \times (-1) = -3x^2-2$ donde $z=-x$ y, por tanto,$\frac{dx}{dz}=-1$.

3. $\frac{df(x)}{dx}|_{x=-x}$ : Primero debemos diferenciar $f(x)$ w.r.t $x$ y en el de derivados ponemos $-x$ en lugar de $x$ para obtener el resultado $3x^2+2$.

Otra opción puede ser añadido, a pesar de que no es un candidato fuerte en este caso.

4. $\frac{df(-x)}{d(-x)}$ : Lo que significa que la diferenciación $f(-x)$ con respecto al $-x$, y obtenemos el resultado que se $3x^2+2$.

Ahora les presento un contexto donde $f'(-x)$ es relevante. Es básicamente la pregunta:

Show that the derivative of an odd function is even (or vice-versa).

La cuestión que se discute aquí, aquí y en muchos otros lugares. En todas las respuestas, para demostrar la declaración, se muestra que la $f'(-x)=-f'(x)$. A partir de la pregunta ¿que puedo interpretar es que tenemos que mostrar $\frac{df(x)}{dx}|_{x=-x} = \frac{df(x)}{dx}$ o en otra notación, $f'(x)|_{x=-x} = f'(x)$. Mientras que las soluciones parecen implicar diferenciación con respecto a los $-x$, por lo tanto, en mi opinión, en realidad no prueban la declaración en la mano.

Nota: he cambiado el título ligeramente para reflejar mi pregunta de forma más precisa.

EDIT 2:

David K vivas de explicación aclarado mi duda. Aquí están las conclusiones a las que han llegado con respecto a las anotaciones de interés: (por favor, hágamelo saber si hay alguna falla)

(i) $f'(g(t))=f'(u)|_{u=g(t)}=\frac{d}{dz}(f(z))|_{z=g(t)}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(g(t)+h)-f(g(t))}{h}$ [donde $h$ es un pequeño cambio en el $g(t)$], por lo $f'(x)$ no necesariamente significa que tenemos que encontrar a $f'$, diferenciando $f$ con respecto al $x$. Sólo significa que representan a $f$ en la modalidad de 'chupete' variable (decir $v$), diferencian w.r.t. $v$ conseguir $f'$, y el sustituto de $x$ $v$ $f'$ conseguir $f'(x)$.

(ii) $f'(-x)=\frac{d}{d(-x)}(f(-x))=\frac{d}{dx}(f(x))|_{x=-x}$, por lo tanto la opción 3 y la opción 4 en mi pregunta son en realidad la misma y ambas son correctas respuesta a mi pregunta original.

Answer 1

He aquí cómo iba a interpretarlo:

$f$ es una función que toma los números de los números. El significado de $f$ es independiente de lo que la aplica, siempre y cuando se aplica a un número.

$f'$ es el derivado de la $f$, $f'$ es una función de los números de los números. El significado de $f'$ también es independiente de lo que se aplican.

$f'(-x)$ es la función de $f'$ que se aplica a $-x$.

Por lo tanto $$f'(-x) = \left.\frac{df(u)}{du}\right|_{u=-x}. \tag{1}$$

Actualización:

Mirando el contexto en el que esta notación fue encontrado, estoy seguro que el significado arriba es lo que se pretende. La dificultad de aplicar esta definición en las diversas pruebas que la derivada de una función impar es aún (o que la derivada de una función par es impar) no es que esta definición de la notación contradice en nada esas pruebas, pero es que hay tantas signo de cambios y otros las anotaciones de los involucrados, que es difícil llevar la cuenta de todos ellos.

La idea clave en esas pruebas es en general la idea de que se puede escribir $f(-x)$ $f(g(x))$ donde se ha definido la función $g$ por la ecuación de $g(x) = -x$. Las pruebas también el uso de la regla de la cadena, para que una fórmula general es

$$ \left.\left(\frac{d}{du} (f(g(u)))\right) \right|_{u=x} = \left.\left(\frac{d}{du}(f(u))\right)\right|_{u=g(x)} \cdot \left.\left( \frac{d}{dv} (g(v)) \right)\right|_{v=x}. \etiqueta{2}$$

Generalmente, esto está escrito en la notación más compacta, por ejemplo, $$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x), $$ pero en la Ecuación de $(2)$ elegí para explicar las diversas partes de la fórmula de una manera mucho más detallada, con extra entre paréntesis añadido a trate de evitar cualquier posibilidad de aplicación de las funciones y los operadores en el orden equivocado.

Para la "$f'$ es incluso" o "$f'$ es impar" teoremas, se nos da una regla para encontrar $f(-x)$ en términos de $f(x)$, y necesitamos mostrar cómo expresar $f'(-x)$ en términos de $f'(x)$. Es importante destacar que, cuando decimos que el $f'$ es un número impar (por ejemplo), estamos hablando de una función denominada $f'$ (que pasa a ser relacionados con el a otra función llamada $f$), que podemos evaluar en alguna entrada el número en paréntesis, como en la Ecuación de $(1)$.

Ejemplo: supongamos $f(x) = x^3 + 2x$, $f$ es la función $f : x \mapsto x^3 + 2x$, o, equivalentemente, (ya que podemos usar cualquier nombre de la variable en la definición), $f : t \mapsto t^3 + 2t$. A continuación,$f'(x) = 3x^2 + 2$, $f'$ es la función $f' : t \mapsto 3t^2 + 2$. Por lo tanto, $f'(-x) = 3(-x)^2 + 2 = 3x^2 + 2.$ Esto implica $f'(-x) = f'(x)$, $f'$ es una función par.

La general de la prueba que la derivada de una función impar es aún puede ser explicado de la siguiente manera. Deje $f$ ser una función impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$ todos los $x$. Definir una función $g$ tal que $g(x) = -x$, de modo que $\frac{d}{dx}g(x) = -1$ y $$f(x) = -f(-x) = -f(g(x)). \tag{3}$$ Entonces $$\frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}(-f(g(x))),$$ y podemos simplificar ambos lados de esta ecuación para obtener $$f'(x) = -\frac{d}{dx}(f(g(x))). \tag{4}$$ Pero la regla de la cadena dice que

\begin{align} \frac{d}{dx} (f(g(x))) = \left.\left(\frac{d}{du} (f(g(u)))\right) \right|_{u=x} &=\left(\left.\frac{d}{du}(f(u))\right|_{u=g(x)}\right) \cdot \left.\left( \frac{d}{dv} (g(v)) \right)\right|_{v=x} \\ &=\left(\left.\frac{d}{du}(f(u))\right|_{u=-x}\right) \cdot \left.\left( -1 \right)\right|_{v=x} \\ &= f'(-x) \cdot (-1) \\ &= -f'(-x). \tag{5} \end{align}

Enchufe esta en el lejano extremo derecho de la Ecuación ($(4)$, y nos encontramos con que $$f'(x) = -(-f'(-x)), $$ es decir, $f'(x) = f'(-x)$, mostrando que el $f'$ es una función par.

Si usted sigue las (más compacta escrito) pruebas en esta respuesta o en la "oficial" de la solución (de acuerdo a esta pregunta) atentamente, usted debe encontrar que convienen a cada paso con los hechos mencionados. Es, desafortunadamente, es fácil perder la pista de un cambio de signo en algún lugar a lo largo de el camino; tenga en cuenta que hay un "cambio de signo" en la Ecuación de $(3)$ debido a $f$ que se extraña, y otro "cambio de signo" en la Ecuación de $(5)$ debido a la regla de la cadena y el hecho de que $g'(x) = -1$.

Observe lo que ocurre con $\frac{d}{dx} (f(-x))$ al $f$ es impar. Desde $f(-x) = -f(x)$, nos encontramos con que $$\frac{d}{dx} (f(-x)) = \frac{d}{dx} (-f(x)) = -\frac{d}{dx} (f(x)) = -f'(x),$$ que no se parece en nada a lo que queremos demostrar; necesitamos $f'(-x) = f'(x)$, no $-f'(x)$, para mostrar que $f'$ es una función par.

La expresión $\frac{d}{d(-x)} (f(x))$ es tan malo, porque si establecemos $t = -x$ hemos $$\frac{d}{d(-x)} (f(x)) = \frac{d}{dt} (f(-t))$$ que es sólo $\frac{d}{dx} (f(-x))$ el uso de la variable nombre de $t$ en lugar de $x$.