Estoy tratando de encontrar si existe una fórmula de forma cerrada para la siguiente suma:
$$\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}\frac{x^{i}}{i+k}$$
donde $x$ y $k$ puede ser cualquier número real. Intenté buscar pero lo más cercano que encontré fue la siguiente identidad (del vol.2 en https://www.math.wvu.edu/~gould/ ):
$$\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}\frac{x^{i}}{i+1}=\frac{(x+1)^{n+1}-1}{(n+1)x}$$
Cualquier ayuda será muy apreciada.
Una solución parcial. Sea $S$ sea la suma deseada. Entonces observamos que para $k > 0$ , \begin {align*} x^k \cdot S&= \sum_ {i=0}^{n} {n \choose i} \frac {x^{i+k}}{i+k}= \sum_ {i=0}^{n} {n \choose i} \int_ {0}^x t^{i+k-1}\a,dt \\ &= \int_ {0}^x \sum_ {i=0}^{n} {n \choose i} t^{i+k-1} = \int_ {0}^x t^{k-1}(1+t)^n\N,dt. \end {align*} Si $k\geq 1$ es un número natural, podemos integrar repetidamente por partes para evaluar la última integral.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Parece que $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \frac{x^{i}}{i+k}$ tiene una evaluación de forma cerrada siempre que $k$ es un número natural fijo. Por ejemplo, tenemos que $\sum _{i=0}^n \frac{\binom{n}{i} x^i}{i+2} = \frac{n x^2 (x+1)^n+x^2 (x+1)^n+n x (x+1)^n-(x+1)^n+1}{(n+1) (n+2) x^2}$ y tenemos que $\sum _{i=0}^n \frac{\binom{n}{i} x^i}{i+3} = \frac{n^2 x^3 (x+1)^n+n^2 x^2 (x+1)^n+3 n x^3 (x+1)^n+2 x^3 (x+1)^n+n x^2 (x+1)^n-2 n x (x+1)^n+2 (x+1)^n-2}{(n+1) (n+2) (n+3) x^3}$ .