Deje $(X_n)_{n\geq 1} $ una secuencia de variables aleatorias independientes. Suponemos que $X_n \sim \mathcal{N}(0,\sigma_n^2)$ y $(\sigma_n)_{n\geq 1}$ es una fuga de la secuencia de números positivos. Deje $\delta_0$ ser de Dirac de la ley con la misa a las $0$. El uso de Lévy continuidad teorema, es fácil ver que $(X_n)_{n\geq 1} $ converge débilmente a $\delta_0$.
Mi pregunta es : ¿$(X_n)_{n\geq 1} $ converge casi seguramente a $0$ ?
Una forma natural para probar la (potencial) casi seguro de convergencia sería el uso de la Borel-Cantelli lema. Se nos dice que, si $\sum_{n\geq 1}\mathbb{P}(|X_n|\geq\varepsilon)<\infty$ todos los $\varepsilon >0$,$X_n \overset{a.s}{\longrightarrow} 0$.
El uso de una variante de la desigualdad de Chebyshev, podemos ver que, para todo entero $p\geq 2$, $$\mathbb{P}(|X_n|\geq\varepsilon )\leq\frac{\mathbb E |X_n|^p}{\varepsilon^p}=\frac{\mu_p}{\varepsilon^p}\sigma_n^p$$where $\mu_p$ is the $p$-ésimo momento de la estándar de Gauss.
lo que conduce a $$\sum_{n\geq 1}\sigma_n^p<\infty \; \text{for some} \;p \Rightarrow (X_n \overset{a.s}{\longrightarrow} 0). $$
Es posible obtener un mayor resultado general? O para encontrar una condición necesaria y suficiente sobre la velocidad de convergencia de $(\sigma_n)_{n\geq 1}$ $(X_n \overset{a.s}{\longrightarrow} 0)$ para ser verdad?
