Integral utilizando el Teorema de Parseval

Question

¿Cómo podría integrar $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}}\,dx$$ utilizando los métodos de la Transformada de Fourier, es decir, utilizando el Teorema de Parseval ?

¿Cómo podría entonces utilizar eso para calcular: $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^{4}(x)}{x^{4}}\,dx$$ ?

Answer 1

Ambas integrales pueden calcularse mediante integración por partes, ya que: $$ \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx = \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin(2x)}{x}\,dx = \pi$$ y: $$ \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^4 x}{x^4}\,dx = \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin(2x)-\frac{1}{2}\sin(4x)}{3x^3}\,dx=\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(2x)-\cos(4x)}{3x^2}\,dx=\frac{2\pi}{3}.$$ La integral general $$\int_{\mathbb{R}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n\,dx $$ puede calcularse a partir del pdf del Distribución de Irwin-Hall .

Answer 2

Parseval en este caso afirma que

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) g^*(x) = \frac1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, F(k) G^*(k) $$

donde $F$ y $G$ son los respectivos FT de $f$ y $g$ . (Las condiciones de integrabilidad, como la integrabilidad absoluta sobre la recta real, deben satisfacerse para ambos pares de funciones).

Cuando $f(x) = g(x) = \sin{x}/x$ entonces $F(k) = G(k) = \pi I_{[-1,1]}$ y tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\sin^2{x}}{x^2} = \frac1{2 \pi} \pi^2 \int_{-1}^1 dk = \pi$$

Cuando $f(x) = g(x) = \sin^2{x}/x^2$ entonces $F(k) = G(k) = \pi (1-|k|/2) I_{[-2,2]} $ y tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\sin^4{x}}{x^4} = \frac1{2 \pi} \pi^2 \int_{-2}^2 dk \left ( 1-\frac{|k|}{2} \right )^2 = \frac{2 \pi}{3}$$