Corolario al teorema de Preissman

Question

Preismann del teorema de los estados (ref. Petersen "Geometría de Riemann", capítulo 6):

En un compacto colector con la negativa de la sección transversal de la curvatura, cualquier abelian subgrupo del grupo fundamental es cíclico.

Un corolario es indicado:

Ningún producto compacto colector admite una métrica con curvatura negativa.

No entiendo cómo el corolario de la siguiente manera a partir de la thoerem. Por supuesto que si, en un producto colector, siempre hay no-cíclico de abelian subgrupos del grupo fundamental. ¿Es esto cierto? (Parece que no debería ser, tomando por ejemplo el producto de simplemente conectado a los colectores.)

Answer 1

Recuerde Cartan-Hadamard: Si se completa$K\le 0$ y$M^n$, entonces el espacio de cobertura universal de$M$ es$\Bbb R^n$.

Answer 2

Supongamos que $M$ $N$ son suaves compacto de los colectores. Supongamos que $L=M\times N$ admite una métrica de curvatura negativa. En primer lugar, tenga en cuenta que $\pi_1(L)$ es de torsión libre: se puede demostrar mediante la observación de que, por Cartan del teorema, cada grupo finito que actúa sobre una simplemente conectado a completar el colector de valor no positivo de curvatura seccional siempre tiene un punto fijo (ver Teorema 23, p. 164, en Peterson del libro). Alternativamente, el aviso de que un determinado grupo no trivial $G$ no puede actuar libremente en un contráctiles del colector como $G$ tiene una infinidad de cohomological dimensión, mientras que una acción libre en un contráctiles colector daría un finito-dimensional de la clasificación de espacio $K(G,1)$. En cualquier caso, si $\pi_1(L)$ contiene un trivial elemento finito de orden, el grupo fundamental no puede actuar libremente en la universalización de la cobertura de $L$, lo cual es una contradicción con el revestimiento básico de la teoría.

Por lo tanto, a menos que $\pi_1(L)$ contiene ${\mathbb Z}^2$, $M$ o $N$ es simplemente conectado. Suponga que $\pi_1(M)$ es trivial; en particular, $M$ es orientable. Desde $M$ es compacto, existe $k\in [2, dim(M)]$ tal que $H_k(M)\ne 0$ (puede tomar la $k=dim(M)$). Por lo tanto, si $X=M\times \tilde{N}$, es la universalización de la cobertura de $L$, $H_k(X)\ne 0$ (uso Kunneth de la fórmula). Esto contradice Cartan-Hadamard teorema que dice que la universalización de la cobertura de un pacto colector de valor no positivo de curvatura es diffeomorphic a un espacio Euclidiano.

Answer 3

Considere un producto$M\times N$ con curvatura seccional negativa.

Si$M$ tiene una curvatura seccional no negativa, sería una contradicción.

Entonces, el subgrupo abeliano del grupo fundamental de$M$ es$0$ o${\bf Z}$, ya que no tiene torsión.

Por lo tanto,$\pi_1(M\times N)=\pi_1(M)\times \pi_1(N)$ tiene un subgrupo abeliano en${\bf Z}^2$.

De un teorema dado, el subgrupo abeliano de al menos un factor de$M\times N$, digamos$M$, es$0$. Por lo tanto, está simplemente conectado de modo que$M={\bf R}^n$. Se contradice con la compacidad.