¿Cómo mostrar que$\varphi(x,y)=(x+f(y),f(x)+y)$ es biyectivo?

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $C^1$ función tal que $|f'(t)|\leq k<1$ todos los $t\in \mathbb{R}$.

Deje $\varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ sea la función dada por $\varphi(x,y)=(x+f(y),f(x)+y)$.

El problema es demostrar que el $\varphi$ es un diffeomorphism. Observe que

$$\det J_\varphi (x,y)=0\quad\Rightarrow \quad f'(x)f'(y)=1\quad \Rightarrow\quad 1=|f'(x)||f'(y)|\leq k^2<1.$$

Por eso, $\det J_\varphi (x,y)\neq 0$ todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ e lo $\varphi$ es un local diffeomorphism. Por lo tanto, para demostrar que $\varphi$ es un diffeomorphism es suficiente para demostrar que $\varphi$ es inyectiva y $\varphi(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2$.

• $\varphi$ es inyectiva.

$$\varphi(x_1,y_1)=\varphi(x_2,y_2)\quad\Rightarrow\quad x_1+f(y_1)=x_2+f(y_2)\text{ and }f(x_1)+y_1=f(x_2)+y_2$$

Cómo a la conclusión de que la $x_1=x_2$$y_1=y_2$?

• $\varphi$ es surjective.

Deje $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Tenemos que mostrar que existe $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tal que $$\left\{\begin{align*} x+f(y)=a\\ f(x)+y=b \end{align*}\right.$$ ¿Cómo podemos hacerlo?

Gracias.

Answer 1

Primero, aquí hay una prueba de inyectividad.

Deje$$x_1+f(y_1)=x_2+f(y_2)

PS

entonces$$f(x_1)+y_1=f(x_2)+y_2

promover

PS

Ahora, desde $$x_1-x_2=f(y_2)-f(y_1)=f^{\prime}(y)(y_2-y_1)$ tenemos$$ y_1-y_2=f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime}(x)(x_2-x_1)=f^{\prime}(x)f^{\prime}(y)(y_1-y_2)$y similar para$|f^{\prime}(x)f^{\prime}(y)|< 1$.

Para la sobreyectividad, defina una secuencia$y_1=y_2$,$x_1=x_2$ a través de

PS

PS

Ahora$x_n$ $ y similarmente

$y_n$ $Esto muestra que$$x_{n+1}+f(y_n)=a$ y$$f(x_n)+y_{n+1}=b$ son Cauchy y sus límites cumplen con los requisitos.