¿Es $\tan(\pi/2)$ no definida o infinito?

Question

La forma en que he entendido, $0/0$ es indefinido o indeterminado porque, si $c=0/0$ entonces $c\cdot 0=0$, donde $c$ puede ser cualquier número finito incluido el $0$ en sí mismo.

Si también observamos una fracción $F=a/b$ donde $a, b$ son números reales positivos, el valor de $F$ aumenta con la disminución de $b$. Siendo $0$ el menor entero no negativo, si $b$ tiende a $0$ entonces $F$ tiende a $\infty$ que es mayor que todos los números finitos.

También he escuchado que ningún número es igual a infinito, una variable puede tender a infinito. Cualquier cociente es también una variable o se resuelve en un número.

Ahora,

$$\tan(\pi/2) = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)}=\frac{1}{0},$$

¿es indefinido o infinito?

También sabemos que

$$\tan2x= \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$

¿Es esta fórmula válida para $x=\pi/2$?

Cualquier rectificación es más que bienvenida.

Algunas referencias:

• tan(PI/2) = ?

• Infinity is not a number

• ¡Wow! Pensé que tan(pi/2) era indefinido?

Answer 1

En un sentido algebraico, es simplemente una cantidad indefinida. No tienes forma de asignar un valor a $\tan (\pi/2)$ para que su valor sea compatible con las reglas algebraicas habituales junto con las identidades trigonométricas. Por lo tanto, tenemos que renunciar a las reglas algebraicas o a la definición de $\tan(\pi/2)$. En muchos casos, simplemente lo dejamos sin definir para que nuestras álgebras familiares sigan sobreviviendo.

Pero en otras situaciones, donde se deben considerar algunos aspectos geométricos de la función tangente, podemos dejar de lado esas reglas y definir el valor de $\tan(\pi/2)$. Por ejemplo, donde estamos motivados por la continuidad de la función tangente en $(-\pi/2, \pi/2)$, podemos permitir que $\tan(\pm\pi/2) = \pm\infty$ para que se extienda a un mapeo 1-1 bien comportado entre $[-\pi/2, \pi/2]$ y la línea real extendida $[-\infty, \infty]$. En otro ejemplo, cualquiera que esté familiarizado con el análisis complejo encontrará que la función tangente es una función holomorfa del plano complejo $\Bbb{C}$ a la esfera de Riemann $\hat{\Bbb{C}}=\Bbb{C}\cup\{\infty\}$ al permitir que $\tan(\frac{1}{2}+n)\pi = \infty$ el punto en el infinito.

En conclusión, no hay una regla general para asignar un valor a $\tan(\pi/2)$, y si es necesario, depende de qué propiedad estés considerando.

Answer 2

$\tan \frac{\pi}{2}$ es indefinido, $$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}^{+}} \tan x = -\infty \quad \text{and} \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \tan x = +\infty~,$$ donde el ${}+{}$ y ${}-{}$ en los límites indican si un punto se acerca desde el lado derecho o izquierdo.

En diferentes contextos la infinitud puede o no considerarse como indefinida, pero en general una cosa indefinida no implica que sea infinita. En este caso, hay que tener en cuenta que $f(x_0)$ no tiene relación alguna con $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$, a menos que la función sea continua en $x_0$.

Answer 3

Depende de lo que quieras decir.

¿Es $\tan$ una función (parcial) de valores reales? Entonces $\tan(\pi/2)$ está indefinido.

¿Es $\tan$ una función (parcial) de valores reales extendidos? Entonces $\tan(\pi/2)$ está indefinido.

¿Es $\tan$ una función (parcial) de valores reales proyectivos? Entonces $\tan(\pi/2) = \infty$, y $\tan$ en realidad es una función total en los reales. (total significa que su dominio son todos los reales)