Son reales antisimétrica matrices ortogonalmente similar a la de sus transpuestas?

Question

Deje $A$ ser una verdadera matriz antisimétrica. Es cierto que $A$ debe ser ortogonal similar a su transpuesta (he.e a $-A$)?

Nota: Se sabe que toda matriz es similar a la de su transpuesta. Es también conocido que en general, no todos los reales de la matriz es ortogonal similar a su transpuesta.

Sin embargo, en el ejemplo dado en la referencia anterior, $A$ no es antisimétrica.

Answer 1

La respuesta es sí. Todos los bienes de los giros de matrices simétricas son ortogonalmente similar a la de su real Jordania formas (ver, por ejemplo, Corolario 2.5.14 de Cuerno y Johnson Análisis de la Matriz). Así, la conclusión se deduce de uno de los siguientes dos observaciones:

1. La transpuesta de un sesgo de simetría de la matriz de $A$ es sesgar-simétrica. Por lo tanto ambos $A$ $A^T$ son ortogonalmente similar a la del mismo real de Jordan en la forma.
2. El $2\times2$ skew-simétrica de bloques $\pmatrix{0&-y\\ y&0}$ (que aparece en el real de Jordan en la forma de un sesgo de simetría de la matriz) es permutación-similar a la de su transpuesta.