demostrar $f(\sqrt{2})\geq 0$ relacionados $(g(x)f'(x))'+f(x)\geq 0$

Question

Deje $g(x)$ continua ha derivado,con $g(x)\geq 1,x\in \mathbf{R}$si $f(x)\in \mathbf{C^{2}}(-\infty,+\infty)$,y $$ f(0)=f'(0)=\int_{-\pi}^{\pi}dy\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)-\cos(ny)}{\cos{x}-\cos{y}}dx\qquad n=2k+1,k\in \mathbf{N}^{+} $$ también para los números reales $x$, $$(g(x)f'(x))'+f(x)\geq 0 $$ demostrar que:$f(\sqrt{2})\geq 0 $.

Yo: A partir de un resultado(de América.Matemática.Mensual.E3145),obtenemos que $$\int_{0}^{\pi}\frac{\cos{nx}-\cos{ny}}{\cos{x}-\cos{y}}dx=\pi\frac{\sin{ny}}{\sin{y}}\qquad (n=0,1,2\cdots) $$ por lo tanto $$f(0)=f'(0)=\pi\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin{nx}}{\sin{x}}dx=2\pi^2$$ Entonces, no sé cómo lidiar con el $$g'(x)f'(x)+g(x)f''(x)+f(x)\geq 0$$.....

Answer 1

Primera prueba para el caso de $g(x)=1$:

Tenemos que $f''(x)+f(x)\ge 0$. Esto puede ser escrito como $f''(x)+f(x)=b(x)$ donde $b(x)$ es una función positiva. Por lo tanto:

$$f(x)= k_1 \cos(x)+k_2\sin(x)+\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\quad\quad\quad\cos(x)\int_0^x -b(s)\sin(s)ds+\sin(x)\int_0^x b(s)\cos(s)ds$$ El hecho de que $f(0)=f'(0)=2\pi^2$ conduce a $k_1 = k_2 = 2\pi^2$. Así que ahora, por el valor medio teorema, ya que $b(s)$ no cambia de signo, no existe $a_1,a_2\in[0,\sqrt{2}]$ tal forma que: $$f(\sqrt{2})=2\pi^2\left(\sin(\sqrt{2})+\cos(\sqrt{2})\right) +\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ $$ $$\quad\quad\quad\quad\left(-\cos(\sqrt{2})\sin(a_1)+\sin(\sqrt{2})\cos(a_2)\right) \int_0^\sqrt{2} b(s)ds$$ Por lo tanto, tenemos que: $$f(\sqrt{2}) \ge 2\pi^2 \ge 0$$ Desde el valor mínimo de $\left(-\cos(\sqrt{2})\sin(a_1)+\sin(\sqrt{2})\cos(a_2)\right)$ es cero.

Ahora, para el caso de $g(x) \ge 1:$

Definimos $h'(x) = g(x)f'(x)$. A continuación, de nuevo por el valor medio teorema, para cada $x$, $h(x)= g(a_x) f(x)$, de modo que $h(x) \ge G f(x)$ donde $G$ es el de los mínimos de $g(x)$ en el intervalo bajo consideración, que nos llevan a ser $[0,\sqrt{2}]$. Por lo tanto, tenemos que: $$h''(x)+\frac{1}{G}h(x) \ge h''(x)+ f(x) \ge 0 $$ Por tanto, la función $h(x)/\sqrt{G}$ tiene la misma solución como $f(x)$ en el caso de $g(x)=1$, y utilizando la misma lógica: $$h(\sqrt{2})\ge \left(h(0)\cos(\sqrt{2}) + h'(0)\sin(\sqrt{2})\right) \ge$$ $$\left(Gf(0)\cos(\sqrt{2}) + Gf'(0)\sin(\sqrt{2})\right) \ge 2\pi^2 \ge0$$

Tenga en cuenta que el valor real de $f(0)=f'(0)$ no hace ninguna diferencia, siempre es positivo. Q. E. D.