La irreductibilidad de $x^p-a$ implica que de $x^{p^2}-a$

Question

Morandi del Campo y de Galois Theorey, el ejercicio 10.5 c

Deje $p$ ser una de las primeras, y supongamos que cualquiera de las $F$ contiene una primitiva $p$th raíz de la unidad, por $p$ impar, o que $F$ contiene una primitiva raíz cuarta de $p=2$. Si hay un $a\in F$ $x^p-a$ irreductible$F$, $x^{p^2}-a$ es irreducible sobre $F$. (Sugerencia: Utilice una norma argumento)

Mis esfuerzos: supongamos $\alpha^{p^2}-a=0$, y deje $K=F(\alpha),\beta=\alpha^p,L=F(\beta)$ Desde $x^p-a$ es irreductible, tenemos $[L:F]=p$. Si $[K:L]=p$, $[K:F]=p^2$ y, por tanto, $x^{p^2}-a$ es irreductible, por lo que solo tenemos que mostrar que $[K:L]=p$, que es equivalente a la irreductibilidad de $x^p-\beta$. Supongo que no, ya que un $p$th raíz primitiva está contenida en $L$, $x^p-\beta$ se divide en $L$, lo que significa que $\alpha\in L$, por lo $\alpha$ $F$- polinomio de $\beta$.

No sé cómo proceder. Alguna ayuda? Gracias!

Answer 1

Corregir algunos algebraicas cierre de $\overline{F}$$F$. Deje $\alpha\in\overline{F}$ ser una raíz de $T^{p^2}-a$. A continuación, $T^{p^2}-a$ es irreducible si y sólo si $[F(\alpha):F]=p^2$. Pero, vamos a $\beta:=\alpha^p$. Tenga en cuenta que desde $\beta^p-a=0$, y por supuesto de $T^p-a$ es irreductible, tenemos que $[F(\beta):F]=p$. Así, vemos que la $[F(\alpha):F]=p^2$ si y sólo si $[F(\alpha):F(\beta)]=p$.

Pero, para probar esto basta para mostrar que $T^p-\beta$ es irreducible en a $F(\beta)[x]$. Pero, por Capelli del teorema, es suficiente para mostrar que $T^p-\beta$ no tiene raíz en $F(\beta)$. Así, supongamos que el $\gamma\in F(\beta)$ es tal que $\gamma^p=\beta$. Nota luego de que

$$N_{F(\beta)/F}(\gamma)^p=N_{F(\beta)/F}(\gamma^p)=N_{F(\beta)/F}(\beta)$$

Pero, puesto que el polinomio mínimo de a$\beta$$T^p-a$, sabemos que $N_{F(\beta)/F}$$(-1)^{p+1}a$.

Por lo tanto, si $p$ es impar, entonces $N_{F(\beta)/F}(\beta)=a$, y por lo tanto $N_{F(\beta)/F}(\gamma)$ es una raíz de $T^p-a$$F$, lo cual es una contradicción.

Si $p=2$, por supuesto,$\pm i\in F$, y así evidentemente $i\cdot N_{F(\beta)/F}(\gamma)$ y

$$(i N_{F(\beta)/F}(\gamma))^2=-1 (-1)^3 a=a$$

y por lo $i N_{F(\beta)/F}(\gamma)$ es una raíz de $T^p-a$$F$, que también es una contradicción.

No estoy seguro de por qué necesitábamos $F$ a contener $\zeta_p$ $p$ impar? ¿Alguien puede ver un problema con el de arriba?