Qué $Re\left( \int_{\gamma} f \right) = \int_{\gamma} Re(f)$?

Question

Actualmente, estoy estudiando el análisis complejo. Mi pensamiento actual es como sigue:

Deje $f(t)=x(t)+iy(t)$. Por definición, $$\int_{\gamma} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, \mathrm{d}t$$ y así, por sustitución, $$\int_{\gamma} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{a}^{b}x(\gamma(t))\gamma'(t) \, \mathrm{d}t + i \int_{a}^{b} y(\gamma(t))\gamma'(t) \, \mathrm{d}t.$$ Por lo tanto, $$Re\left( \int_{\gamma} f \right) =\int_{a}^{b}x(\gamma(t))\gamma'(t) \, \mathrm{d}t.$$ Ahora, $$\int_{\gamma} Re(f(t))\, \mathrm{d}t = \int_{\gamma}x(t) \, \mathrm{d}t = \int_{a}^{b} x(\gamma(t))\gamma'(t) \, \mathrm{d}t.$$ Vemos que estas expresiones son de hecho los mismos, y por lo $Re\left( \int_{\gamma} f \right) = \int_{\gamma} Re(f)$. Esto que parece tan sencillo, y he estado intentando durante años para venir para arriba con un contador de ejemplo, pero no he sido capaz de encontrar uno. ¿Cuáles son tus pensamientos?

Answer 1

Esto no es cierto. Tomemos, por ejemplo, $\gamma$ como el círculo unidad y $f(z) = z$.

A continuación,$\int_\gamma z\,dz = 0$, pero \begin{align} \int_\gamma x\,dz &= \frac12\left(\int_\gamma z\,dz + \int_\gamma \bar z\,dz\right)\\ &= 0 + \frac12 \int_\gamma \frac{\bar z z}{z}\,dz \\ &= \frac12 \int_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \pi i. \end{align}