Evaluar la siguiente integral, $\int\sqrt{4-\sqrt{x}}dx$

Question

Evaluar la siguiente integral, $$\int\sqrt{4-\sqrt{x}}dx$$

$$\int \sqrt{4-\sqrt{x}}dx=\int \sqrt{2^2-(x^{1/4})^2}dx$$ Teniendo en cuenta la común subsitution para $a^2-x^2$, vamos a $$x^{1/4}=2\sin t$$ $$x=16\sin^4t$$$$\int dx=\int 64\sin^3t\cos t dt$$

Por lo tanto, por subsitution, tenemos $$\int \sqrt{4-\sqrt{x}}dx=\int \sqrt{{4-(2\sin t)^2}}(64 \sin^3t\cos t)dt=\int \sqrt{4\cos^2 t}(64 \sin^3t\cos t) dt=\int128\cos^2t\sin^3 t dt=\int 128(\cos^2 t)*(1-cos^2t)\sin tdx=128\int \cos^2t\sin t-\cos^4 t\sin t dt=128(-1/3\cos^3 t+1/5\cos^5t)+C$$

¿Hay algún error en mis sesiones? Esta es una pieza muy importante de trabajo para mí, y tenía la esperanza de que SE puede comprobar por mí. Gracias!

Sospecho que algo está muy mal, pero no puedo cavar el error...yo.e probado para una integral definida, y me puse una respuesta diferente.

P. S lo Siento por el desordenado de escribir. Yo soy bastante nueva para el Látex.

Answer 1

Tal vez un poco menos complicado:

$$u^2:=4-\sqrt x\Longrightarrow 2udu=-\frac{dx}{2\sqrt x}\Longrightarrow dx=-4u(4-u^2)du\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow \int\sqrt{4-\sqrt x}\;dx=-4\int u^2(4-u^2)\,du=-16\int u^2\,du+4\int u^4\,du=$$

$$=-\frac{16}{3}u^3+\frac{4}{5}u^5+K$$

Answer 2

Así, sustituto $u = \sqrt{x}$$\mathrm{d}u = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \,\mathrm{d}x$:

$$= 2 \int \!\sqrt{4-u}\, u \, \mathrm{d}u$$

Para el integrando $\sqrt{4-u}\, u$, sustituto $s = 4-u$$\mathrm{d}s = - \mathrm{d}u$:

$$= 2 \int \!(s-4) \sqrt{s}\, \mathrm{d}s$$

Ampliar el integrando $(s-4) \sqrt{s}$ da $s^{\frac{3}{2}}-4 \sqrt{s}$:

$$= 2 \int\! (s^{\frac{3}{2}}-4 \sqrt{s})\, \mathrm{d}s$$

Integrar la suma término a término y el factor de salida constantes:

$$= 2 \int \!s^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}s-8 \int\! \sqrt{s}\,\mathrm{d}s$$

La integral de $\sqrt{s}$$\frac{2 }{3}\,s^\frac{3}{2}$:

$$= 2 \int \!s^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{d}s-\frac{16}{3}\,s^{\frac{3}{2}}$$

La integral de $s^\frac{3}{2}$$\frac{2}{5}s^\frac{5}{2}$:

$$= \frac{4}{5}s^\frac{3}{2}-\frac{16}{3} s^\frac{3}{2}+constant$$

Sustituya por $s = 4-u$:

Espero no hizo ningún error.

$$= \frac{4}{5} (4-u)^\frac{5}{2}-\frac{16}{7} (4-u)^\frac{3}{2}+constant$$

Sustituya por $u = \sqrt{x}$:

$$= \frac{4}{5} (4-\sqrt{x})^\frac{5}{2}-\frac{16}{3} (4-\sqrt{x})^\frac{3}{2}+constant$$

El Factor de la respuesta de una manera diferente:

$$= -\frac{4}{15} (4-\sqrt{x})^\frac{3}{2} \,(3 \sqrt{x}+8)+constant$$

Answer 3

Poner $x=16\sin^4 \theta$. A continuación,$dx = 64\sin^3\theta cos\theta d\theta$. Usted recibirá

$$ = 128 \int sin^3\theta cos^2\theta d\theta $$ $$ = 128 \{ \int sin^3\theta d\theta - \int sin^5\theta d\theta\} $$

Ahora el uso de la relación de recurrencia para $\int sin^n\theta d\theta $ para obtener su resultado. O a hacer lo que hizo. Los pasos están bien, pero me puedes decir que la integral definida, se trató de evaluar? Que será de ayuda. Por ejemplo, $\int_a^b ...$, (a,b) no puede ser negativo. En breve me dicen de los límites de la integración.