Probar que no existe bijective función continua $f:[0,1] \to [0,1]^2$

Question

Probar que no existe bijective función continua $f:[0,1] \to [0,1]^2$.

Aquí está mi intento hasta ahora: supongamos que existe una función de $[0,1] \to [0,1]^2$ es continua y surjective. Queremos mostrar que no puede ser inyectiva. Supongamos por el contrario que es inyectiva. A continuación, desde la preimagen de $f$ es compacto y $f$ es bijective, su inverso $f^{-1}$ es un bijection de la unidad de la plaza de a $[0,1]$. También, es una convergencia uniforme.

También estoy preguntando si hay una no necesariamente continua bijection de la unidad de la plaza a la unidad de la línea.

No estoy seguro de cómo demostrar a este problema. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Un bijective función continua sería un cerrado mapa (mapas de conjuntos cerrados para conjuntos cerrados) y, por tanto, un homeomorphism. Para ver el mapa está cerrado tenga en cuenta que si $C$ es cerrado en $[0,1]$ es compacto, entonces $f(C)$ es compacto como $f$ es continua donde $f(C)$ es cerrado como conjuntos compactos en un espacio de Hausdorff están cerrados.

Pero $[0,1]$ $[0,1]^2$ no homeomórficos. Eliminar un punto de $[0,1]$ y el espacio se desconecta mientras que la eliminación de un punto de $[0,1]^2$ deja conectado.