Según "Lenguaje, Prueba y Lógica" $a=a$ no es una tautología. ¿Por qué no?

Question

En el capítulo 4 del libro dice:

La sentencia $a=a$ es necesariamente cierto. Así que, por supuesto, no importa cuáles sean sus premisas iniciales, será imposible que esas premisas sean verdaderas y que $a=a$ ser falsa, simplemente porque es imposible que $a=a$ ¡para ser falsa!

Luego, unas páginas más adelante, dice

Sin embargo, debe quedar claro que no todas las afirmaciones lógicamente necesarias son tautologías. El ejemplo más sencillo de una afirmación lógicamente necesaria que no es una tautología es la sentencia de FOL $a =a$ . Como se trata de una frase atómica, su tabla de verdad contendría una T y una F. El método de la tabla de verdad es demasiado tosco para reconocer que la fila que contiene la F no representa una posibilidad genuina".

¿Cómo puede esta frase ser tal que "es imposible que sea falsa" y sin embargo no ser una tautología?

gracias

edit: nvmd, ya veo lo que dicen.

Answer 1

Hay que comprobar la definición de tautología .

Normalmente, la tautología se define en el contexto de la lógica proposicional.

Para la lógica de primer orden, una fórmula es una tautología si es una fórmula obtenible a partir de una tautología de la lógica proposicional sustituyendo (uniformemente) cada símbolo de la frase por una fórmula del lenguaje de primer orden.

Así, $\forall x P(x) \to \forall x P(x)$ es una tautología, siendo una "instancia" de $A \to A$ , mientras que $x=x$ no lo es, porque es una "instancia" del símbolo de la frase única $A$ que no es una tautología.

Por supuesto, $x=x$ es válido es decir, verdadera en todas las interpretaciones.

Answer 2

La definición habitual de una tautología en FOL es que se puede obtener por sustitución a partir de una tautología en lógica proposicional. Por ejemplo $p \vee \neg p$ es una tautología en lógica proposicional y a partir de ella podemos obtener tautologías en FOL como $a=a \vee \neg a=a$ o $a\neq a \vee \neg a\neq a$ etc.