En concreto, ¿los pesos tienen algún significado geométrico? Una forma modular $f$ satisface $f(\frac{az+b}{cz+d})(cz+d)^{-2k}=f(z)$ , donde $z\in \mathbb{C}$ . $k$ o $2k$ se llama el peso de $f$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
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Bueno, depende de lo que se entienda por geométrico. Como se discutió recientemente en otra pregunta formas modulares de peso $k$ pueden identificarse con secciones del $k^{th}$ potencia tensorial de un determinado haz de líneas, pero no sé mucho de esto así que no diré más.
Aquí hay otra respuesta. Recordemos que $G = \text{SL}_2(\mathbb{R})$ actúa de forma transitoria en el semiplano superior $\mathbb{H}$ con estabilizador $K = \text{SO}(2)$ para que podamos identificar $\mathbb{H}$ con el espacio homogéneo $G/K$ y formas modulares con determinadas funciones $f : G/K \to \mathbb{C}$ que se transforman de forma agradable bajo la acción de $H = \text{SL}_2(\mathbb{Z})$ . En otras palabras, las formas modulares pueden identificarse con ciertas funciones sobre $G$ que son invariantes bajo $K$ y casi invariante bajo $H$ .
Resulta que podemos intercambiar "invariante" y "casi invariante" por encima. Definir
$$\phi_f \left( \left[ \begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array} \right] \right) = f \left( \frac{ai + b}{ci + d} \right) (ci + d)^{-k}.$$
Esto define una nueva función en $G$ que ahora es invariante bajo $H$ y casi invariante bajo $K$ : ahora $K$ actúa según la representación correspondiente a $k$ . Se trata de un caso especial de una construcción general que no entiendo del todo. Creo que tiene algo que ver con las representaciones inducidas; tampoco entiendo esa relación.
