Evaluar $\int \frac{1}{x^3+3x+1}dx$

Question

Evaluar $$\int \frac{1}{x^3+3x+1}dx$$ Traté de evaluar ella, pero yo no podía hacer .

Answer 1

El polinomio $x^3+3x+1$ tiene exactamente $1$ real de la raíz (en $a\sim-0.32$, según WA), y por lo tanto, dos complejas conjugadas de las raíces. Por lo $x^3+3x+1=(x-a)(x^2+bx+c)$ donde $b^2-4c<0$. Así que los pasos serían los siguientes:
1) Romper $\frac1{x^3+3x+1}$ $$\frac1{x^3+3x+1}=\left(\frac1{x-a}-\frac{x+(a+b)}{x^2+bx+c}\right)\frac1{a^2+ab+c}$$ (paréntesis abierto para comprobar)
2) Integrar, recordando que $$\frac{1}{x^2+bx+c}=\frac{1}{\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4}$$ y que $b^2-4c<0$, por lo tanto $4c-b^2>0$.

Answer 2

Mediante el establecimiento $x=2z$ hemos $$I=\int\frac{dx}{x^3+3x+1}=\int\frac{dz}{4z^3+3z+1/2}$$ y por la sustitución de $z$$\sinh t$,$t$$\log u$, tenemos: $$ I = \int \frac{\cosh t}{1/2+\sinh(3t)}\,dt =\int\frac{u^3+u}{u^6+u^3-1}\,du$$ que es un poco mejor para hacer frente y, más importante, nos da que: $$ 4z^3+3z+1/2 = \left(z+\sinh\frac{\operatorname{arcsinh} 1/2}{3}\right)\left(4z^2-4\sinh\frac{\operatorname{arcsinh} 1/2}{3}z+\frac{1}{2\sinh\frac{\operatorname{arcsinh} 1/2}{3}}\right)$$ así que tenemos las raíces de $x^3+3x+1$ en un explícito trigonométricas formulario y nos puede calcular el $I$ a través de la fracción parcial de la descomposición. También tenemos: $$\operatorname{arcsinh}\frac{1}{2}=\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).$$

Answer 3

El uso parcial de la fracción de expansión da,

$$\int \frac{1}{x^3+3x+1}dx=\int \left(\frac{a_1}{x-x_1}+\frac{a_2}{x-x_2}+\frac{a_3}{x-x_3}\right)dx$$

donde $x_1$, $x_2$, y $x_3$ son las raíces (que se puede encontrar en forma cerrada) y las constantes $a_i$, $i=1,2,3$ están dadas por $a_i=\frac{1}{3x_i^2+3}$.

Tenga en cuenta que aquí, sólo una raíz real (decir $x_1$ es real). A continuación, $x_2$ $x_3$ son complejos conjugados y $a_1$ $a_2$ son complejos conjugados. Por lo tanto, la integral se simplifica a $$\int \frac{1}{x^3+3x+1}dx=a_1\log |x-x_1|+2\Re \left(a_2\log (x-x_2)\right)+C$$

donde $\Re \left(a_2\log (x-x_2)\right)$ es la parte real de la $a_2\log (x-x_2)$ $C$ es una constante de integración. Escrito

$$a_{2r}=\Re (a_2)$$ $$a_{2i}=\Im (a_2)$$ $$x_{2r}=\Re (x_2)$$ $$x_{2i}=\Im (2_2)$$

la integral se convierte en $$\int \frac{1}{x^3+3x+1}dx=a_1\log |x-x_1|+a_{2r}\log \left((x-x_{2r})^2+x_{2i}^2\right)+2a_{2i}\arctan \left(\frac{x_{2i}}{x-x_{2r}}\right)+C$$