$\int_0^1 {\frac{{\ln (1 - x)}}{x}}$ sin energía eléctrica de la serie

Question

Hay una forma para calcular el $$\int_0^1{ \ln (1 - x)\over x}\;dx$$ sin utilizar la energía de la serie?

Answer 1

Un problema relacionado. Mediante el cambio de variables $x=1-e^{-t}$ y tomando advatage el hecho de que

$$\Gamma(s)\zeta(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^{t}-1}\,, $$

el valor de la integral de la siguiente manera

$$ -\int_{0}^{\infty} \frac{t}{e^{t}-1} \,dt = -\zeta(2) = -\frac{\pi^2}{6} \,.$$