Ejemplos de la teoría de los números aparecen en la física

Question

Hay ejemplos interesantes de la teoría de los números que muestra de manera inesperada en la física?

Esto probablemente suena bastante extraña la pregunta, o más bien como uno de los triviales para preguntar, pero a menudo ineficiente preguntas como "dar algunos ejemplos de Un tema que ocurren en relación con el tema B", así que permítanme tratar de motivar.

En la computación cuántica conocido pregunta es cuantificar el número de mutuo imparcial (ortonormales) bases (MUBs) en un $d$-dimensional espacio de Hilbert. Un conjunto de bases que se dice ser mutuamente imparcial si $|\langle a_i | b_j \rangle|^2 = c^{-1}$ para cada par de vectores de elegido de diferentes bases dentro del conjunto. Como cada base ortonormales también tenemos $\langle a_i | a_j \rangle =\delta_{ij}$ para los vectores dentro de la misma base. Sabemos la respuesta cuando $d$ es primo (que es de $d+1$) o cuando $d$ es una potencia exacta de un primer (siendo de $d+1$), pero han sido incapaces de determinar el número de otros compuestos de $d$ (incluso en el caso de $d=6$ es abierto). Además, hay una razonable cantidad de evidencia de que, para $d=6$ no son significativamente menos de $7 a$ MUBs. Si es correcto, esto me parece muy raro. Se siente (al menos para mí) como el número teórico de propiedades como la primalidad no tienen que aparecer en la física como este. Hay otros ejemplos de este tipo de cosas que aparecen en la física de una manera fundamental?

Answer 1

Hay muchos intentos para una prueba física de la hipótesis de Riemann. La mayor parte del trabajo en esta dirección fue resumido en una reciente revisión realizada por: Schumayer y Hutchinson.

Uno de estos intentos fue propuesto por Berry y Keating. Su sugerencia es que en el marco de la Hilbert–Pólya conjetura, según la cual, la de Hilbert–Pólya Hamilton, cuyo espectro es la parte imaginaria de la zeta ceros, puede ser obtenido por la cuantización de un clásico Hamiltoniano de un sistema caótico tener órbitas periódicas con el primer registro de los períodos. Ellos argumentan que la clásica Hamiltoniano puede ser de $xp$ (con los que aún se desconoce las condiciones de contorno).

Otra sugerencia es debido a Freeman Dyson en sus Aves y Ranas conferencia que sugiere que la hipótesis de Riemann puede ser demostrado a través de la clasificación de los unidimensional de los cuasicristales.

Answer 2

Aquí es un juguete ejemplo; no sé qué interesante esto será para los físicos. Los autovalores de la Laplaciano actuando en, digamos, las funciones lisas $\mathbb{R}^k/(2\pi \mathbb{Z})^k \to \mathbb{C}$ son dadas por $$\{ m_1^2 + ... + m_k^2 : m_i \in \mathbb{Z} \}.$$

como un conjunto múltiple (es decir, con multiplicidades). Estos son los autovalores de la energía de $n$ libres no interactúan las partículas cuánticas en un círculo. La multiplicidad de un autovalor es por lo tanto el número de maneras de escribir como una suma de $k$ (entero) plazas.

Este es un clásico número teórico de problema. Por ejemplo, es un clásico que el número de maneras de escribir un entero no negativo $$ n como suma de dos cuadrados es $$r_2(n) = 4 \sum_{d | n} \chi_4(d)$$

donde $\chi_4(d)$ es igual a $0$ si $d \equiv 0, 2 \bmod 4$, igual a $1$ si $d \equiv 1 \bmod 4$, y el equivalente a $-1$ si $d \equiv 3 \bmod 4$. En general, el número de maneras en $r_k(n)$ a escribir un entero no negativo $$ n como la suma de $k$ plazas de generación de función $$\sum r_k(n) q^n = \left( \sum_{m \in \mathbb{Z}} p^{m^2} \right)^k = \theta(q)^k.$$

La función $\theta(q)$ es una función theta. Theta funciones están estrechamente relacionadas con las formas modulares, un tema importante en la teoría de números, y de hecho la clásica prueba de la forma cerrada $$r_4(n) = 8 \sum_{d | n} [4 \nmid d]$$

(donde hemos usado la Iverson soporte de arriba) los beneficios de la muestra que $\theta(q)^4$ es una forma modular; véase Wikipedia.

Answer 3

He encoutered Diophantine ecuaciones (una variante de la ecuación de Pell) en un (inédito) intento de convertir de un sistema molecular en un clásico de lógica puerta. El objetivo era (aproximadamente) sincronizar inconmensurables oscilaciones, y sucesivas de la solución a la ecuación de Diophantine me dio mejor fidelidades.

No sé si califica para la teoría de números, o incluso para la física, pero me sorprendió encontrar esta ecuación como una buena herramienta para mi problema de física.

Si alguien está interesado, puedo desenterrar mis viejas notas y escribir algo más detallado sobre el problema y la solución que he encontrado. Simplemente pregunta en el comentario.