Deje $m$ $n$ ser enteros positivos. Deje $S_m$ $S_n$ ser los grupos simétricos en los conjuntos de $\{1,\dots,m\}$$\{1,\dots,n\}$, respectivamente. ¿Cuál es el tamaño mínimo de un set de generación de energía para el producto directo de los $S_m\times S_n$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Per Hornshøj-Schierbeck
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Deje $S_m$ actuar en $\{1,2,\ldots,m\}$ $S_n$ $\{1',2',\ldots,n'\}.$
[añadir más detalle en el siguiente apartado como por solicitud] Un hecho dado en la mayoría de los textos de primaria en la permutación de los grupos es que los 2 ciclos $(12),(13),(14),\ldots,(1m)$ generar todos los de $S_m$. Con ese resultado, conocido vemos luego que dos generadores $\sigma=(12)$ $\tau=(123\cdots m)$ generar todos los de $S_m$. Esto es porque tenemos suficientemente muchas transposiciones mediante la conjugación de la primera por los poderes de este último. Por ejemplo $\tau\sigma\tau^{-1}=(23)$, $\tau^2\sigma\tau^{-2}=(34)$ et cetera. Además de la conjugación de los da $(13)=(23)(12)(23)$ y así sucesivamente. Del mismo modo podemos utilizar $\tau'=(23\cdots m)$ en lugar de $\tau$: $\tau'^k\sigma\tau'^{-k}$ da la 2-ciclos de $(1j), 1<j\le m$, y tener suficiente.
Yo creo que dos generadores será siempre suficiente para generar el producto directo.
Si $m$ $n$ son ambos impares, entonces es claro que las permutaciones $\alpha=(123\ldots m)(1'2')$ y $\beta=(12)(1'2'3'\ldots n')$ generar toda la cosa, porque la $\alpha^2$ $\beta^n$ generar $S_m$ $\alpha^m$ $\beta^2$ generar $S_n$. La observación general aquí es que si una permutación $\sigma$ es el producto de dos ciclos disjuntos de coprime longitudes, entonces el individuo ciclos de pertenecen al subgrupo generado por a $\sigma$.
Si bien $m$ (resp. $n$) es par, entonces utilizamos $(23\ldots m)(1'2')$ (resp. $(12)(2'3'\cdots n')$ ), en cambio, como el otro generador. La clave es que el más ciclo de longitud impar, por lo que la anterior observación se aplica.
Addedum: Un único generador, obviamente, no va a hacer :-)
