Interpretación de la transformada de Fourier

Question

Hay una interpretación intuitiva de la transformada inversa de Fourier con un sistema de ruedas conectadas que giran en el plano complejo. Entonces la señal (una real, como el seno habitual por ejemplo) es la parte real de la posición de un punto unido al sistema en el tiempo. Esto se explica muy fácilmente en el siguiente artículo.

https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/#From_Smoothie_to_Recipe

Creo que entendí el concepto bastante bien, sin embargo me desconcierta alguna interpretación intuitiva simétrica sólo para la Transformada de Fourier (FT) no la inversa. En otras palabras: Sé cómo reproducir una señal sabiendo que es FT, pero me cuesta imaginar cómo se puede descomponer una señal concreta en sus componentes.

Para explicarlo mejor, me ceñiré a la siguiente convención:

$$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} F(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d}\omega$$ $$F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t$$ donde $f(t)$ es una señal y $F(\omega)$ su FT.

Si echamos un vistazo a las ecuaciones podemos ver, que la única diferencia es el signo en el exponente. Esto sugiere, que uno debe pensar en ello como girar hacia atrás a través del sistema de ruedas con cada punto de una señal particular. Sin embargo, ahora integramos sobre la frecuencia. La elección de un arbitrario $\omega$ podemos pensar en puntos en movimiento con la velocidad angular de $\omega$ . Mi idea es que si se elige $\omega$ coincide con una frecuencia de algún componente de la señal considerada, entonces toda la contribución al valor de la integral proviene de ese componente, las frecuencias no mate se cancelan de alguna manera.

Consideremos ahora una onda sinusoidal. Siguiendo la idea anterior elegimos la frecuencia de coincidencia. Sabemos que la integral no existe ya que oscila entre -1 y 1 como el propio seno. Al menos si no la dividimos en su parte positiva y negativa. Entonces obtenemos dos funciones delta como es debido, una negativa y otra positiva.

Ahí es donde surgen mis preguntas.

¿Por qué es así? ¿Por qué el resto de una señal se cancela al integrarse en una frecuencia arbitraria? ¿Qué pasa entonces, por ejemplo, con la onda constante? ¿Tal vez debería considerar dicha onda sinusoidal como un pulso complejo correspondiente? ¿Deberíamos mirar de forma diferente a las funciones impar y Par o descomponer en partes positivas y negativas?

Eso me molesta durante tanto tiempo que finalmente decidí buscar ayuda aquí.

Agradecería alguna explicación más profunda ya que no me queda claro. Sería estupendo que siguiera mi idea presentada.

También se lo he preguntado a uno de mis profesores. Él me dio un enfoque diferente con la diagonalización de la matriz y el teorema espectral, si esa es una mejor manera de entenderlo también estaría agradecido por las pistas o la explicación.

Además, ¿podría indicarme algún libro o documento apropiado sobre este tema?

Answer 1

Imagine su función $f(t)$ es una señal de tono puro, $\textit{i.e.}$ es de la forma: $$f(t) = \sin{t}$$ con $\omega$ arbitraria.

Debido a que la transformada de Fourier proviene de algún límite podemos definirla como una suma: $$\mathcal{F}(f(t)) =\lim_{T\to \infty} a_0(T) + \sum_{k=1}^{\infty}a_k(T)\cos{(2\pi k \,t/T )} + b_k(T) \sin{(2\pi k\,t/T )}$$ Donde los coeficientes se definen como $$a_0(T) = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\,dt}$$ $$a_k(T) = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\cos{(2\pi k \,t/T )}\,dt} \qquad b_k(T) = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{(2\pi k \,t/T )}\,dt}$$

Toma para la visualización $T$ finito, digamos para simplificar $T=2\pi$ .

Ii es fácil ver que todos los coeficientes dan 0 pero $b_1$ , que es igual a $1$ . Esto es así porque las integrales sobre un periodo del producto de funciones sinusoidales con distinta frecuencia se anulan como señaló T L Davis.

Por lo tanto, esperamos que el "mejor ajuste" a la función propuesta $f(t)$ es una onda sinusoidal con amplitud y frecuencia unidad.

Para el caso del continuo, las funciones delta tienen una amplitud compleja debido a la definición de la transformación en términos de exponenciales complejos. Ahora no hay funciones base como $\sin{nt}$ o $\cos{nt}$ pero $\exp{int}$ (en cierto sentido) ese grupo ambos. Recordemos la fórmula de Euler: $$\exp{int}=\cos{nt}+i\sin{nt}$$ Puede observar que las amplitudes de las ondas asociadas a la parte sinusoidal deben ser puramente complejas para recuperar el significado físico.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Recomiendo encarecidamente " La transformada rápida de Fourier " de E. Oran Brigham para desarrollar una comprensión profunda de la transformada de Fourier. El énfasis está en la FFT, pero como ilustra la portada, cubre la transformada de Fourier, la transformada discreta de Fourier, la FFT y sus aplicaciones. Le dará una idea de la transformada de Fourier acoplando las matemáticas con ilustraciones sobresalientes de pares de transformadas, operaciones de transformadas, etc. Uno de los mejores libros técnicos de la historia. (Véase la reseña de Richard N).

Answer 3

Me decidí y esto es lo que se me ocurrió teniendo en cuenta el concepto de ortogonalidad. La ortogonalidad resulta ser una clave para entender lo que ocurre al aplicar las transformadas de Fourier. Entonces, tanto la interpretación matricial sugerida por mi profesor como el análisis de las integrales representan bien la idea.

Consideremos únicamente las ondas complejas de tono puro de la forma $e^{2\pi i \xi t}$ . Es más sencillo y compacto que pensar en los senos y cosenos.

Recordemos (como ha señalado amablemente T L Davis) que el producto interior de funciones complejas $f$ y $g$ de la línea real se define como $$\left<f,g\right>=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{g(t)}\mathrm{d}t$$ De ello se deduce que la norma es $$||f||=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t\right)^{{1}/{2}}$$ que son $L^2$ norma y producto interno, que probablemente puede ser utilizado para hacer algunas suposiciones formales para la existencia de FT para funciones particulares. Teniendo en cuenta lo anterior, volvamos a las series de Fourier, es decir $f(t)=\sum_\limits{n=-\infty}^{\infty}c_n(T)e^{2\pi i\frac{n}{T} t}$

Como ha señalado HBR en su respuesta, los coeficientes de las series de Fourier vienen dados por $$c_n(T)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-2\pi i \frac{n}{T}t}\mathrm{d}t,$$ pero bueno, estos $c_n(T)$ son exactamente lo que estamos preguntando. Suponemos que una función periódica puede descomponerse en un número contablemente infinito de ondas sinusoidales de una forma determinada y necesitamos conocer sus "cantidades". Los coeficientes de Fourier son la respuesta a ese problema y la transformada de Fourier es su análogo continuo. Así que $c_n(T)$ son sólo una forma discreta de FT. Al dejar que $T\to\infty$ y notando la suma de Riemann obtenemos la convergencia deseada: $$f(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_\limits{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\frac{n}{T} t}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-2\pi i \frac{n}{T}t}\mathrm{d}t\frac{1}{T}=$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\xi t}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\xi t}\mathrm{d}t\mathrm{d}\xi=\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)e^{2\pi i\xi t}\mathrm{d}\xi.$$ donde $F(\xi)$ es el FT. Llegamos con la forma continua. Dejando que $T\to\infty$ puede considerarse como una función periódica con un período infinito, por lo que no es periódica en realidad.

La única pregunta que queda es por qué los coeficientes están dados por esa fórmula. Ahí es donde entra la ortogonalidad. Sabemos que las ondas tonales puras de diferentes frecuencias son ortogonales (por el producto interior y el comentario de T L Davis). Así que podemos formar una base lineal ortogonal a partir de ondas de tono puro exclusivamente. De ello se deduce que existe una representación única de cualquier función en dicha base y los coeficientes de "cantidad" vienen dados por el producto interior de la función considerada con cada seno. Esta es la idea general que subyace en todo el asunto. Ahora tenemos que volver a las funciones periódicas una vez más. Si alguna función $f$ es periódica en el intervalo $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ entonces es suficiente considerar el producto interno sobre ese intervalo solamente. $$\left<f(t),e^{2\pi i \xi_n t}\right>=\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\overline{e^{2\pi i\xi_n t}}\mathrm{d}t=\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-2\pi i\xi_n t}\mathrm{d}t,$$ que es casi exactamente lo que teníamos para $c_n(T)$ y $\xi_n$ denota $\frac{n}{T}$ . Todavía hay $\frac{1}{T}$ izquierda. Obsérvese que la norma de la onda de tono puro es $$||e^{2\pi i \xi_n t}||^2=\int_{-T/2}^{T/2}e^{2\pi i \xi_n t}e^{-2\pi i \xi_n t}\mathrm{d}t=\int_{-T/2}^{T/2}1\mathrm{d}t=T.$$

Ahora podemos ver que $$c_n(T) = \frac{\left<f(t),e^{2\pi i \xi_n t}\right>}{||e^{2\pi i \xi_n t}||^2}=\cos(\vartheta_n)\frac{||f(t)||}{||e^{2\pi i \xi_n t}||}$$ La extensión a la forma continua es entonces más obvia ya que $\cos(\cdot)$ está acotado, por lo que nos libramos de los infinitos cuando $T\to\infty$ .

Sabiendo esto podemos entender la integral de la transformada de Fourier como la toma del producto interior de una señal particular con ondas de tono puro frecuencia a frecuencia. Tenga en cuenta que FT como se define sin la división por la norma, que informalmente permite tomar valores infinitos y la ocurrencia de las funciones delta. Eso lo explica suficientemente para mí.

Con lo anterior estamos listos para responder a las preguntas planteadas en mi post. La cancelación de términos es ahora obvia a partir de la ortogonalidad. He preguntado por una onda constante. Es ortogonal a toda función base no constante. Así que $$\mathcal{F}\{C\}(\xi)= \begin{cases} \infty &\mathrm{when} \quad \xi=0 \\ 0 &\mathrm{elsewhere} \\ \end{cases}$$ Eso va directamente del producto interno de la constante Sin embargo, tenemos que tener cuidado por el límite. Tenemos que distinguir entre $\delta(k)$ y $C\delta(k)$ no son lo mismo cuando se piensa en los límites. Lo anterior es $C\delta(k)$ entonces. Lo interesante es que si hay una componente constante en cualquier singal podemos extraerla simplemente integrando esta función sobre la recta real.

Concéntrese ahora en las funciones pares e Impares. Observamos que las pares tienen un FT real puro y las Impares un imaginario puro. Cada función puede ser fácilmente descompuesta en su parte par e impar, entonces podríamos ver sus transformaciones por separado. Por ejemplo, dejemos que $f(t)$ ser ractantgular pulso en el intervalo $[0,1]$ con amplitud $1$ . No es ni impar ni par. Tenga en cuenta que $f(t)=f_e(t)+f_o(t)$ , donde $f_e(t)$ es un pulso recantagular de amplitud $1$ en el intervalo $[-1,1]$ y $f_o(t)$ es $-1$ en $[-1,0]$ y $1$ en $[0,1]$ . Se puede demostrar que ese primer término FT es $\mathrm{sinc}(\xi)$ y segundo $2i\sin(\xi/2)\mathrm{sinc}(\xi/2)$ . De hecho, son puro real y puro imaginario, es más, son pares e Impares respectivamente de nuevo.

La interpretación de las matrices es ahora también fácilmente comprensible con un poco de álgebra lineal, pero por lo que veo es más adecuada para la transformada discreta de Fourier, ya que se trata de representaciones finitas. A partir del teorema espectral sabemos qué matrices pueden ser diagonolizadas. Tenemos $A=U^{-1}DU$ donde U es la matriz de transición a una base ortogonal y D es diagonal. D significa FT discreto. Probablemente tiene algunas propiedades interesantes, pero lo dejaremos ahí.

Espero que alguien encuentre interesantes estas reflexiones. Siéntase libre de compartir sus ideas o corregirme en caso de que esté equivocado.