¿Cómo debemos definir "localmente pequeño"?

Question

Sea U un universo de Grothendieck, y U + su universo sucesor (suponga el axioma del universo de Grothendieck).

Todo el mundo está de acuerdo en que una categoría U-pequeña es una categoría cuyos conjuntos de objetos y morfismos son ambos elementos de U. Para el "siguiente tamaño mayor" de las categorías que no son necesariamente ni siquiera localmente pequeñas, llámese simplemente categorías U, hay dos posibles definiciones:

• una categoría cuyo conjunto de objetos y conjuntos Hom son todos subconjuntos de U;
• una categoría cuyo conjunto de objetos y Hom-sets son todos los elementos de U + (U + -categorías pequeñas).

Prefiero la segunda noción, para que la categoría de las categorías U sea cartesiana cerrada y podamos formar localizaciones. Este es el uso de Dwyer-Hirschhorn-Kan-Smith, "Homotopy Limit Functors on Model Categories and Homotopical Categories". Creo que el primero se corresponde más estrechamente con los tratamientos de la teoría de categorías no basados en el universo de Grothendieck que utilizan conjuntos y clases, pero puedo estar equivocado.

Para las categorías U-localmente pequeñas hay de nuevo dos posibles definiciones:

• una categoría cuyo conjunto de objetos es un subconjunto de U y cuyos Hom-sets son elementos de U,
• una categoría cuyo conjunto de objetos es un elemento de U + y cuyos Hom-sets son elementos de U.

No veo una razón de peso para preferir una sobre la otra, salvo que la segunda es más paralela a mi preferencia por las categorías U. DHKS utiliza la primera. Como ejemplo de la diferencia entre ellas, si tengo una categoría U-localmente pequeña C, puedo formar la categoría (poset) de subcategorías completas de C; esto es U-localmente pequeño bajo la segunda definición, pero no la primera. ¿Es esto algo bueno o malo? ¿O no hay teoremas que me interesen que se vean afectados por esta diferencia? ¿Alguien tiene una opinión sobre estas dos definiciones?

Answer 1

Tienes razón en que la primera noción de categoría U se corresponde más con a tratamientos no basados en Grothendieck-universo, por ejemplo, utilizando NBG o la teoría de conjuntos de MK. Para ser precisos, si U es un universo, definir "conjunto" como "elemento de U" y "clase" como "subconjunto de U" da un modelo de la teoría de conjuntos-clase MK (y, por tanto, también NBG, que es más débil que MK). Una comparación de las relaciones entre diferentes tratamientos teóricos de conjuntos de conjuntos de las grandes categorías se puede encontrar en mi artículo expositivo " Teoría de conjuntos para la teoría de categorías ."

He aquí un ejemplo de un teorema que puede (tal vez) diferenciar entre las dos nociones de categorías U-localmente pequeñas. Sea C una U-categoría cuyos hom-sets están en U (es decir, una "categoría U-localmente-pequeña" según su segunda definición). Entonces C tiene una incrustación de Yoneda C → [Cº,Set] donde Set es la categoría U de conjuntos U-pequeños. Nótese que [Cº,Set] es sólo una categoría U por su segunda definición (es decir, una U⁺-categoría pequeña). Decimos que C es lex-total si esta incrustación de Yoneda tiene un adjunto izquierdo que preserva los límites finitos. Es un teorema de Freyd, que puede encontrarse en el artículo de Ross Street "Notions de topos", que si C es lex-total y también U-localmente-pequeño según a su primero (su conjunto de objetos es un subconjunto de U), entonces C es un topos de Grothendieck (es decir, la categoría de las láminas de U-pequeño sobre algún U-pequeño). Lo contrario no es difícil de demostrar, así que esto da una caracterización de las topos de Grothendieck. Hasta donde yo sé, se desconoce no se sabe si puede haber lex-total U-categorías con muy grandes conjuntos de objetos que no sean topos de Grothendieck.

Personalmente me inclinaría por su segunda definición de "U-localmente pequeño", porque como usted dice coincide con su definición preferida definición de categoría grande en relación con U (que yo preferiría llamar simplemente "categoría U⁺-pequeña", ya que su definición no hace referencia a U), y también porque el término "U-localmente pequeño" suena como si sólo impone una condición de pequeñez a nivel local. Street utiliza "moderado" para una categoría que tiene como máximo un conjunto U-pequeño de clases de isomorfismo de objetos, por lo que si se quiere enunciar un teorema (como el anterior) sobre categorías U-localmente-pequeñas según su primera definición, se puede decir "U-localmente pequeño y U-moderado".