Encontrar el período de la solución a $y'(x) = y(x) \cdot cos(x + y(x))$ con transformada de Fourier; cómo interpretar complejo resultado?

Question

Una pregunta en otra parte de este sitio se pregunta acerca de la detección de la frecuencia de las oscilaciones en un sistema definido por las ecuaciones diferenciales.

La ecuación es $y'(x) = y(x) \cdot cos(x + y(x))$. La solución puede ser encontrar numéricamente (parcela de $y(x)$$x$):

En mi respuesta, pensé que el plazo podrá ser encontrado por uno de los picos en la FFT. Sin embargo, el siguiente código de Mathematica para tomar una transformada de Fourier de un montón de muestras, parece dar una tontería resultados:

s = NDSolve[{y'[x] == y[x] Cos[x + y[x]], y[0] == 1}, y, {x, 0, 30}];
 Plot[Evaluate[y[x] /. s], {x, 0, 30}, PlotRange -> All] 

(* Sample the solution at 10000 equally spaced points *)
numPoints = 10000;
samplePoints = Range[0, 30, 30/numPoints];
samples = Evaluate[y[samplePoints] /. s][[1]];

ft = Fourier[samples];
ListPlot[{Abs[ft], Re[ft], Im[ft]}]

Resultado (el azul es absoluta, de color púrpura es la parte real, el amarillo es parte imaginaria):

Desde el eje de las x se supone que representan la frecuencia, también se puede convertir a un periodo de:

t = 1/Fourier[samples];
ListPlot[{Abs[t], Re[t], Im[t]}]

Que todavía no producir una gran señal que correspondería al periodo real de 6.44:

El problema es que probablemente no está relacionado con Mathematica (porque Matlab produce resultados similares), pero tiene que ver con mi pobre entendimiento de los PIES.

Conceptualmente, creo que es razonable esperar que los PIES para producir una fuerte señal a la frecuencia correspondiente al periodo real de la parcela, y sus armónicos.

¿Por qué, entonces, es esta entrada de la producción de un "espectro", compuesto de números complejos (específicamente, ¿cuál es la intuitiva/interpretación práctica de un complejo resultado)? ¿Por qué soy incapaz de interpretar el resultado de los PIES para obtener la respuesta correcta?

Answer 1

Esta solución no es periódica. En cambio, las oscilaciones están en decadencia. De hecho, para los de segundo orden en $y$ hemos $$ y' = \cos(x) y - \sin(x) y^2 $$ que tiene soluciones $$ y = \dfrac{e^{\sin(x)}}{C + \int e^{\sin(x)}\sin(x)\; dx}$$ Ahora $\int_{0}^{2\pi} e^{\sin(x)} \sin(x)\; dx > 0$, llamar a esta $2 \pi r$ ($r = I_1(1)$ donde $I_1$ es una función Bessel modificada). Entonces $$\int_0^x e^{\sin(x)} \sin(x)\; dx = r x + O(1)$$ así que (para este segundo fin de aproximación) $$ y = \dfrac{e^{\sin(x)}}{r x} + O(1/x^2)$$ Yo esperaría que para el original de la educación a distancia tenemos algo similar.
De hecho, aquí es un gráfico de $x y$ como una función de la $x$ para una solución numérica con valor inicial $y(0) = 1$:

Así que si usted está buscando la periodicidad, que podría ser el no $y$ pero en $xy$ (después de esperar algún tiempo para que la solución para resolver abajo).