Isomorfismo de grupo entre números reales y complejos.

Question

¿Existe algún isomorfismo entre los números reales y complejos como grupo bajo adición?

Answer 1

No hay ningún isomorfismo "bonito", si "bonito" es cualquier propiedad como continua, o continua en un punto, o medible, o $\mathbb{R}$ -lineal, etc.

$\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son ambos espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ y cualquier homomorfismo $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ debe satisfacer $f(0) = 0$ Así que mirando donde $f(1)$ aterriza en el plano complejo, se puede "trazar una línea" a través de $f(1)$ y $0$ y la imagen $f(p/q)$ de cada punto racional $p/q \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ debe aterrizar en esta línea. El uso de este hecho junto con cualquiera de esas propiedades "agradables" puede forzar la imagen de $f$ para ser una línea en $\mathbb{C}$ - si quieres saber más sobre cómo hacerlo, busca "ecuación funcional de Cauchy". En particular, cualquier homomorfismo "bonito" $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ debe ser $0$ o $\mathbb{R}$ -lineal.

Sin embargo, si estás dispuesto a invocar el axioma de la elección, hay es un isomorfismo pero, por supuesto, no podrás escribir una fórmula para ello.