Mostrar que cualquier ideal I de el anillo R es la intersección de todos los primer ideales que contienen

Question

Pregunta:Supongamos que R es un anillo con identidad 1. También,tenemos $x^2=x$ para cualquier x en R. Entonces, ¿cómo demostrar que cualquier ideal I de R es la intersección de todos los primer ideales que contienen?

En primer lugar, basado en el $x^2=x$, podemos obtener 2x=0 para cada x en R. Y también podemos probar el anillo R es conmutativo. A continuación, dar el primer ideal P de R, podemos demostrar que $R/P$ es isomorfo a $Z/2Z$(que es debido a que, dado cualquier x en R, pero x no está en P, podemos saber que $x^2+P=x+P$(desde $x^2=x$), luego tenemos a $x^2-x=x(x-1)\in P$. si es así, basado en P es primo ideal, podemos saber x-1 en P(puesto que x no está en P). Si es así, tenemos $x+P=1+P$. Esto implica que sólo tenemos dos elementos en R/P, y son P 1+P,que es la razón por la R/P es isomorfo a Z/2Z). Ahora, ¿cómo puedo probar que la pregunta anterior? No estoy seguro de si esas propiedades y las conclusiones anteriores son útiles para ayudar a probar mi pregunta? Alguien me puede decir como solucionar este problema?

Answer 1

Quiere mostrar que en $R/I$, el cero ideal $(0)$ es la intersección de todos los primer ideales. En general, la intersección de los principales ideales de un anillo conmutativo es su nilradical, por lo que, equivalentemente, que quiere demostrar que $R/I$ no tiene no trivial nilpotents. Se puede terminar de aquí?

Por el camino, anillos con esta propiedad se llaman anillos Booleanos, a pesar de que no es particularmente importante aquí.

Answer 2

Aquí es otro argumento que no utilice el hecho de que la intersección de todos los números primos es el nilradical, sólo el hecho de que el máximo de los ideales existen. Como Qiaochu dice, que usted quiere mostrar que si $x\in R/I$ es distinto de cero, hay algunos de los mejores ideales que no la contienen. Para mostrar esto, usted puede mostrar lo siguiente. Si $x\neq 0$, entonces a partir de la $x(1-x)=0$, $1-x$ no es una unidad. Por lo tanto no es un ideal maximal $M$ contiene $1-x$. Un ideal maximal, entonces no contenga $x$.

(En realidad, este secreto es el mismo que con el hecho de que la intersección de todos los números primos es el nilradical, ya que demuestran que el hecho de que el uso de la existencia de máxima ideales en la localización de la $R[x^{-1}]$. Lo que ocurre es que si $x=x^2$, que la localización puede ser identificado con $R/(1-x)$.)