Aprendiste acerca de la noción de profundidad en su clase? Deje $I$ un ideal en $R$, un conmutativa noetherian anillo. Llamamos a una secuencia regular $c_1, \dots, c_k \in I$ máximo $I$-secuencia, si no podemos encontrar ninguna $i \in I$ tal que $c_1, \dots, c_k,i$ sigue siendo regular. Es un hecho sorprendente que la longitud de cualquier maximal $I$-secuencia es la misma. Esta longitud se llama la profundidad de $I$.
No es en absoluto evidente a partir de primeros principios, que puede definir la profundidad, pero una vez bien definido el problema se vuelve mucho más fácil:
Hacemos inducción: el caso de $n=1$ es justo lo que dijo anteriormente. Ahora tome regularmente dos secuencias de $a_1, \dots, a_n$$b_1, \dots, b_n$. Inductiva tenemos que exista $c_1, \dots, c_{n-1}$ regular tal que $c_i \in (a_1, \dots, a_i) \cap (b_1, \dots ,b_i)$. Para finalizar la prueba sólo tenemos que encontrar a $c_n \in (a_1, \dots, a_n) \cap (b_1, \dots ,b_n)$ que no es un zerodivisor mod $(c_1, \dots ,c_{n-1})$. La profundidad de ambos $(b_1, \dots ,b_n)$$(a_1, \dots, a_n)$$n$. Por qué?
Por lo tanto $c_1, \dots, c_{n-1}$ no es un maximal $(\{a_k\})$-secuencia o $(\{b_k\})$-secuencia. Así podemos extender y ambos: podemos encontrar $d \in (\{a_k\})$ $d' \in (\{b_k\})$ ni $d$ o $d'$ son zerodivisors mod $(c_1, \dots, c_{k-1})$. Por lo tanto $dd'$ no es un divisor de cero, pero es que en ambos ideales, así que es el elemento deseado.
Línea de base: la noción de profundidad, es realmente útil. Por desgracia, no sé realmente elemental prueba de que se está bien definido (que todos la máxima $I$-secuencias tienen la misma longitud). La mayoría de las pruebas de uso cohomology-- definimos una cadena de complejos asociados a los generadores del ideal, y la profundidad es el primer lugar donde el complejo no es exacto.
