¿Hay alguna relación entre un grupo de unimodular y tener uniforme equivalente estructuras?

Question

Recordar: Un grupo topológico se dice que tiene uniforme equivalente de estructuras si su derecha e izquierda uniforme estructuras coinciden. Un localmente compacto grupo que se dice ser unimodular si la izquierda Haar medidas y derecho Haar medidas en él coinciden.

Localmente compacto grupos, ¿hay alguna relación o implicación entre estos dos conceptos? Abelian grupos son trivialmente tanto, y grupos compactos son un poco menos trivialmente ambos. ¿Hay algo más que se puede decir no?

Answer 1

Un localmente compacto grupo cuyo izquierdo y derecho uniforme estructuras coinciden generalmente se llama un PECADO grupo (PECADO= pequeño invariante barrios) — vea el papel de Itzkowitz me ligado a continuación. Es cierto que es un PECADO grupo es unimodular, ver, por ejemplo, el Teorema de 12.1.9 en la página 1273 de T. W. Palmer, álgebras de Banach y la teoría general de la $\ast$-álgebras, Vol. 2, Cambridge University Press, 2001. La razón es que uno puede encontrar un invariante compacto vecindario $K$ de la identidad de $G$ y la invariancia significa que $gKg^{-1} = K$ todos los $g \in G$. Por lo tanto

$$\lambda(K) = \lambda(gK) = \lambda(gKg^{-1}g) = \lambda(Kg) = \Delta(g) \lambda(K)$$

y desde $0 \lt \lambda(K) \lt \infty$ llegamos a la conclusión de que $\Delta \equiv 1$ e lo $G$ es unimodular.

La otra inclusión es falso: $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ es unimodular, pero su derecha e izquierda uniforme estructuras son distintas para $n \geq 2$, ver Hewitt-Ross, Abstracto, Análisis Armónico, yo,por Ejemplo 4.24 (a), p.28f.

---

Agregado: es un resultado debido a la G. Itzkowitz, Estructura Uniforme en Grupos Topológicos, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 57, vol. 2, (1976), pp 363-366 que localmente compacto grupo tiene un sistema fundamental de invariantes barrios de la identidad si y sólo si la izquierda y la derecha uniforme estructuras coinciden.