Cuando es un módulo de finitely generado más de su endomorfismo anillo?

Question

Si $R$ es un simple Artinian anillo con un simple módulo de $M$ $M$ es finitely genera como una $\mathrm{End}_R(M)$-módulo. Esto normalmente se demuestra en forma indirecta: Por Artin-Wedderburn-Teoría podemos suponer que la $R = \mathcal{M}_n(D)$ es una matriz de anillo sobre un anillo de división $D$, e $M = D^n$. Entonces es obvio que $M$ es finito dimensionales más de $\mathrm{End}_R(M) \cong D^{op}$.

Es allí una manera más directa / de forma más elegante para mostrar que $M$ es finitely generado más de $\mathrm{End}_R(M)$, lo que evita la matriz de los anillos? Hay más condiciones generales en $R$ $M$ por debajo de lo que la conclusión sigue siendo cierto?

Answer 1

Hay el siguiente teorema por Morita [Lang, Álgebra - Teorema 7.1]:

Deje $R$ ser un anillo y $M$ $R$- módulo. A continuación, $M$ es un generador de iff $M$ es equilibrado y finitely generado proyectiva sobre $R' = \mathrm{End}_R(M)$.

Esto generaliza la declaración anterior, como si $R$ es simple Artinian y $M$ es simple, a continuación, $R \cong M^{(n)}$ algunos $n$, lo $M$ es en particular un generador.

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Aquí está una primaria prueba de la implicación "$M$ es un generador de $\implies M$ es f.g. más de $R'$":

Prueba. Deje $M$ derecho $R$-módulo, de modo que puede ser considerado como una izquierda $R'$-módulo. Ser un generador significa que $R$ es un epimorphic imagen de $M^{(n)}$ algunos $n$, por lo que hay elementos $x_1, \dots, x_n \in M$ y homomorphisms $\varphi_1, \dots, \varphi_n \colon M \to R$ tal que $\sum_i \varphi_i x_i = 1$. Para cualquier $x \in M$ deje $\alpha_x$ ser el único homomorphism $R \to M$$\alpha_x(1) = x$. A continuación, para todos los $x \in M$ hemos $$ x = \alpha_x(1) = \alpha_x \left( \sum_i \varphi_i x_i \right) = \sum_i (\alpha_x \varphi_i) x_i. $$ Since $\alpha_x \varphi_i \R'$ for all $i$, this means that $M$ is generated by $x_1, \dots, x_n$ as an $R'$-module. $\square$