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Cómo diferenciar mapa exponencial con parámetro dependiente de punto de base

Deje $(M,g)$ de Riemann colector, $\gamma:I\rightarrow M$ geodésica y $X$ un campo de Jacobi. Para una prueba de $c:(-\varepsilon,\varepsilon)$ se define a ser otro geodésica con $c^\prime(0)=X(0)$. $V$,$W$ son paralelas campos vectoriales a lo largo de $c$.

La derivada quería calcular es$\frac{\partial}{\partial s}\exp_{c(s)} (t\cdot(V(s)+sW(s)))$$s=0$.

Me miró a los ejemplos, pero no hay tal cosa como la $c(t)$ allí así que no puedo averiguar.

Muchas gracias, espero que no sea demasiado simple cálculo pregunta para este foro.

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user99914 Puntos 1

Me encontré con este problema hace varias semanas cuando leí el artículo

"Una de Riemann de la interpolación de la desigualdad a la Borell, Brascamp y Lieb"

Hay más o menos una forma de deshacerse de la dependencia para el punto base. El inconveniente es que tenemos que calcular la derivada de la función de distancia y considerar la posibilidad de $t$ no es tan grande como aquí (por Lo que podría no ser muy útil).

Deje $y = y(t) =\exp_x tV$ donde $x = c(0)$. Si $x$ no está en el locus corte de $y$ (por Lo $t$ no es grande), entonces la función

$$ d^2_{y} (z) = d^2(y, z)$$

es differntiable en un barrio de $x$. Además, podemos usar el lema de Gauss para mostrar

$$ (*) \ \ \ \exp_{c(s)} \bigg( - \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s))\bigg) = y$$

Por simplicidad, llame a $Z(s) = t(V(s) + sW(s))$. A continuación, escribir

$$\exp_{c(s)}(Z(s)) = \exp_{c(s)} \bigg(- \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s)) + \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s)) + Z(s) \bigg)$$

Luego, usando (*) y la regla de la cadena tenemos

$$\frac\partial{\partial s}\exp_{c(s)}(Z(s))\big|_{s=0} = (d\exp_x)_{tV} \bigg(\frac 12 \nabla_X \nabla d^2_{y} (x) + (\nabla_X Z)(0)\bigg)$$

En su caso $V, W$ son paralelas a lo largo de $c$, por lo que

$$\frac\partial{\partial s}\exp_{c(s)}(Z(s))\big|_{s=0} = (d\exp_x)_{tV} \bigg(\frac 12 \nabla_X \nabla d^2_{y} (x) + tW \bigg)$$

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