Me encontré con este problema hace varias semanas cuando leí el artículo
"Una de Riemann de la interpolación de la desigualdad a la Borell, Brascamp y Lieb"
Hay más o menos una forma de deshacerse de la dependencia para el punto base. El inconveniente es que tenemos que calcular la derivada de la función de distancia y considerar la posibilidad de $t$ no es tan grande como aquí (por Lo que podría no ser muy útil).
Deje $y = y(t) =\exp_x tV$ donde $x = c(0)$. Si $x$ no está en el locus corte de $y$ (por Lo $t$ no es grande), entonces la función
$$ d^2_{y} (z) = d^2(y, z)$$
es differntiable en un barrio de $x$. Además, podemos usar el lema de Gauss para mostrar
$$ (*) \ \ \ \exp_{c(s)} \bigg( - \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s))\bigg) = y$$
Por simplicidad, llame a $Z(s) = t(V(s) + sW(s))$. A continuación, escribir
$$\exp_{c(s)}(Z(s)) = \exp_{c(s)} \bigg(- \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s)) + \frac 12 \nabla d^2_{y} (c(s)) + Z(s) \bigg)$$
Luego, usando (*) y la regla de la cadena tenemos
$$\frac\partial{\partial s}\exp_{c(s)}(Z(s))\big|_{s=0} = (d\exp_x)_{tV} \bigg(\frac 12 \nabla_X \nabla d^2_{y} (x) + (\nabla_X Z)(0)\bigg)$$
En su caso $V, W$ son paralelas a lo largo de $c$, por lo que
$$\frac\partial{\partial s}\exp_{c(s)}(Z(s))\big|_{s=0} = (d\exp_x)_{tV} \bigg(\frac 12 \nabla_X \nabla d^2_{y} (x) + tW \bigg)$$
