Hallar la Inversa de una Infinita Matriz Cuadrada

Question

Para mi las matemáticas asignación yo estoy usando el polinomio de interpolación para resolver ciertos problemas y que terminan con el siguiente escenario:

$\begin{bmatrix}... & 0 &0 & 0 & 1\\... &1^3 & 1^2 & 1 & 1\\ ... &2^3 & 2^2 & 2 & 1\\... &3^3 & 3^2 & 3 & 1\\ \unicode{x22F0} & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{bmatrix}^{-1} \unicode{x22c5} \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\ \vdots \end{bmatrix}$

Donde el valor de las filas de la producción de una sola columna de la matriz corresponden a los coeficientes de una infinita-polinomio con la disminución de los poderes.

Me preguntaba es que hay una manera a invertir esta infinita de la matriz o encontrar lo que sucede con el polinomio como puedo aumentar el tamaño de las matrices que se utilizan (por ejemplo, ver si se acerca a otra función de taylor de la energía o de la serie)

Answer 1

No estoy seguro de que, si el siguiente es transferible a su lado izquierdo de la matriz, porque yo sólo uso esta matriz en un espejo de un formulario, que calificó de "Vandermonde-matriz" $ZV$.

Seguramente el infinito-versión en tamaño no puede ser invertida y secuencias de finitely del tamaño de las matrices con el aumento de tamaño cada vez mayor y fuertemente divergentes determinante, por lo que creo que es poco probable que usted podría aproximar a una significativa límite cuando en realidad tome las matrices de tamaño finito y volver a calcular la inversa de siempre con un aumento de tamaño.

Pero el LDU-descomposición de mi versión de la Vandermondematrix llegar a dos triangular de la matriz de los factores y una matriz diagonal cuyas entradas no cambian cuando el tamaño es alterado, por lo que una inversión de los factores, incluso cuando infinita tamaño parece posible y todas las entradas de todos los tres factores y de sus principales inversos tienen una estructura simple, de modo que se puede definir formalmente la serie que ocurren por el dot-productos.

Así que si puedo tomar

VZ = 
  1  0   0    0    0     0 ...
  1  1   1    1    1     1 ...
  1  2   4    8   16    32 ...
  1  3   9   27   81   243 ...
  1  4  16   64  256  1024 ...
  1  5  25  125  625  3125 ...
 ...                  

y hacer la LDU-descomposición en tres matriz de factores

 L*D*U = VZ    
 L =   (Pascalmatrix)    // the inverse is the same just with signed entries
  1  .   .   .  .  .
  1  1   .   .  .  .
  1  2   1   .  .  .
  1  3   3   1  .  .
  1  4   6   4  1  .
  1  5  10  10  5  1

  D = (diagonal of factorials)  // the inverse has reciprocal factorials
  1  .  .  .   .    .
  .  1  .  .   .    .
  .  .  2  .   .    .
  .  .  .  6   .    .
  .  .  .  .  24    .
  .  .  .  .   .  120


 U =  (Stirlingnumbers 2nd kind)  // inverse has Stirlingnumbers 1st kind
  1  0  0  0  0   0
  .  1  1  1  1   1
  .  .  1  3  7  15
  .  .  .  1  6  25
  .  .  .  .  1  10
  .  .  .  .  .   1

a continuación, el resultado debe ser de alguna manera equivalente a

   U^-1 * D^-1 * L^-1 * column([a,b,c,d,e,...] )            

donde posiblemente un método de divergente suma debe ser asignada al último de producto

 P= ( D^-1 * L^-1 * column([a,b,c,d,e,...]) ) 
 U^-1 *_(div summation included) P        // this is not always doable

A veces (si [a,b,c,...] comportarse bien) la parenthese $P$ en la última fórmula se obtiene un vector con sólo un número finito distinto de cero entradas, entonces la fórmula para el resultado final sólo da finito y por lo tanto exacta de sumas.

Pero, en realidad, dado que su definición de una fila reflejado de Vandermonde de la matriz, no sé si el problema está aún bien definida en todos los ...