¿Cuál es la explicación del Teorema de Ptolomeo - Prueba Sin Palabras?
Respuestas
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Si miramos $\triangle BCD$ en la izquierda de la foto, se ve que
- la longitud del lado opuesto al ángulo de $\alpha$$a$;
- la longitud del lado opuesto al ángulo de $\beta$$b$;
- la longitud del lado opuesto al ángulo de $\gamma+\delta$$f$.
En el derecho de la parte de la imagen, el triángulo que dice $a\cdot(\triangle BCD)$ tiene los tres ángulos y los tres longitudes de los lados opuestos, excepto que ellos están multiplicados por $a$.
Hacer lo mismo con $\triangle ABC$, que también aparece en la izquierda de la parte, pero esta vez de multiplicar todos los tres de sus lados por $f$, consiguiendo $f\cdot(\triangle ABC)$, que aparece en la derecha de la parte. Ese triángulo que tiene un lado de longitud $af$, y el que mencioné en el párrafo anterior, también tiene un lado de longitud $af$, así que los dos encajan, como se muestra en la derecha de la parte.
Y del mismo modo con $b\cdot(\triangle BAD)$.
Porque los cuatro ángulos entre los lados y las diagonales que tienes que añadir a $180^\circ$, es decir,$\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^\circ$, se obtiene un segmento de línea recta que es la unión de dos segmentos de longitudes $ac$$bd$, los dos productos de la longitud de los pares de lados opuestos. Pero la línea inferior del segmento del paralelogramo tiene una longitud de $ef$, por lo que tenemos $ac+bd=ef$, que es lo que Ptolomeo del teorema dice.
Pero, ¿cómo sabemos que es un paralelogramo? Para los que basta con mirar los ángulos en las cuatro esquinas extremas: $\alpha+\delta$ aparece en cada una de las dos esquinas opuestas, y $\beta+\gamma$ en los otros dos.
Ptolomeo, en el siglo ii dc, usa este teorema en la construcción de Ptolomeo de la tabla de acordes.
(Yo pensaba que sabía que Ptolomeo vivió en Alejandría, como Euclides y Eratóstenes hizo, y como Arquímedes vivió en Siracusa. Así que yo estaba un poco sorprendido cuando leí en Nicholas Nicastro el libro de la Circunferencia que Ptolomeo del caso es que a diferencia de los de Euclides, Eratóstenes y Arquímedes, en este sentido: No antiguo de los escritos de Ptolomeo o otros dicen que donde vivía, pero una muy fuerte circunstancial el hecho de que fue Alejandría. Nicastro fue durante un tiempo un profesor de historia, y aquí podemos ver una de las diferencias entre la manera en que los historiadores de pensar y la forma en que los matemáticos piensan. El último decir casualmente que Ptolomeo vivió en Alejandría y no pensar en donde esa información.)
PA6OTA
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Prueba interesante!
La idea es que todos los ángulos que se muestran son iguales a los ángulos en la imagen de la izquierda. Esto implica que la figura de la derecha es un paralelogramo. Por lo tanto, los dos lados opuestos son iguales.
Es claro por qué los ángulos partido? Se basa en la congruencia de las correspondientes de los triángulos.
