Mostrar que $x^8 \equiv 1 \pmod{32}$

Question

Probar que si $x$ es impar, entonces $x^8 \equiv 1 \pmod{32}$.

He intentado utilizar la expansión de la $$(2k+1)^8 = 256 k^8+1024 k^7+1792 k^6+1792 k^5+1120 k^4+448 k^3+112 k^2+16 k+1,$$, pero no veo cómo eso ayuda. Hay una manera más fácil?

¿Cómo podemos demostrar en general que $x^{{2^k}} \equiv 1 \pmod{2^{k+2}}$ si $x$ es impar?

Answer 1

Todos, pero los tres últimos términos son divisibles por $32$, e $112\equiv 16\pmod{32}$, por lo que la cosa es congruente a $16+16+1\equiv1\pmod{32}$ si $k$ es impar. Si $k$ es incluso, cada término es un múltiplo de a $32$ a excepción de la final de la $1$.