Morfismos categórico producto totalmente determinada por la composición con canónicas de las proyecciones?

Question

Considere el diagrama: $$\begin{array}{} &&&& A_1 \\ &&& \overset{\pi_1}\nearrow \\ X & \overset f{\underset g \rightrightarrows} & A_1 \times A_2 \\ &&& \underset{\pi_2}\searrow \\ &&&& A_2 \end{array}$$ donde $X$ es cualquier objeto, $(A_1 \times A_2, \pi_1, \pi_2)$ es la categoría de producto de $A_1$$A_2$, e $f$ $g$ son los mapas de$X$$A_1 \times A_2$.

Mi pregunta es si $\pi_1 \circ f = \pi_1 \circ g$ $\pi_2 \circ f = \pi_2 \circ g$ implican $f=g$, es decir, si una de morfismos de cualquier objeto a una categoría de producto está determinada únicamente por la composición con la proyección de dos morfismos.

Answer 1

Sí, este es exactamente el contenido de la característica universal de la categoría de producto.

1. Para cada par de mapas de $f_1,f_2\colon X\to A_1,A_2$ hay un mapa de $f\colon X\to A_1\times A_2$ satisfacción $\pi_1\circ f=f_1$ $\pi_2\circ f=f_2$

2. Si hay dos mapas de $f,g\colon X\to A_1\times A_2$ satisfacción $\pi_1\circ f=f_1$$\pi_2\circ f=f_2,$, entonces son iguales.

Juntas, las dos declaraciones de decir "para cualquier pareja, hay una y sólo una flecha para el producto." Así que sí, $f_1$ $f_2$ determinar $f$ por instrucción 1, y hacerlo de forma exclusiva (cualquiera de las dos flechas son iguales) por instrucción 2.