No conozco una prueba de que una extensión de Galois esté determinada por los primos que se dividen además del argumento con $L$ -funciones.
Una forma de pensar en la relación con la CFT es la siguiente:
-
El thm. de existencia de CFT dice que, para cada conductor $\mathfrak m$ , existe una extensión (el campo de clase de rayo del conductor $\mathfrak m$ ) tal que un primo se divide completamente en esta extensión si es trivial en la clase de rayo gp. del conductor $\mathfrak m$ .
-
Además, esta extensión es abeliana, con el gp. de Galois isomorfo al grupo de clase de los rayos de la clase de rayo.
-
Además, toda extensión abeliana está contenida en un campo de clase de rayo.
La teoría de los campos de clase surgió a lo largo de un período de tiempo, como conjeturas y luego como teoremas (aproximadamente entre 1860 y 1920), a medida que cada una de estas afirmaciones se descubrió, y la gente se dio cuenta de la relación entre las condiciones de división dadas por congruencias y extensiones abelianas.
Es bueno pensar en extensiones ciclotómicas de $\mathbb Q$ que son manifiestamente abelianos, y también se ve fácilmente que son campos de clase de rayo. Y entonces uno tiene el teorema de Kronecker--Weber.
Así que los campos de clase de rayo son generalizaciones de las extensiones ciclotómicas --- en el sentido de que generalizan las propiedades de división de las extensiones ciclotómicas. Sin embargo, no es tan obvio que existen, sin embargo --- en general no hay una construcción directa, a diferencia del caso ciclotómico. Probar que existen, y que son abelianas con el grupo de Galois correcto, fue un teorema importante; pero esto es sólo el análogo de la existencia de extensiones ciclotómicas de $\mathbb Q$ . Probar que toda extensión ab. está contenida en un campo de clase de rayo es entonces otro resultado, generalizando a Kronecker--Weber.
Artin descubrió su mapa, y su ley de reciprocidad, después de que se demostrara la CFT. Uno de los aspectos importantes del mapa de Artin es que da una relación a priori entre el grupo de ideales fraccionarios (no ramificados) y el grupo de Galois en el caso de una extensión abeliana.
Estoy empezando a divagar un poco aquí. Así que permítanme resumir diciendo que, sí, la idea de que los campos de clase de los rayos están determinados por ciertas propiedades de división es uno de los pilares de la teoría de los campos de clase. El otro pilar principal es la relación (completamente no obvia) entre dichas propiedades de desdoblamiento basadas en la congruencia y la abelianidad de las extensiones.
