Demostrar que ax+bx+ay+by ≤ 300.

Question

Deje $a,b,x,y$ ser números positivos satisfactoria:
$ax ≤ 100, bx ≤ 100$,
$ay ≤ 100, by ≤ 50$.
Demostrar que $ax+bx+ay+by ≤ 300$.

Alguien me puede ayudar ??

Answer 1

Hay tres casos, de acuerdo a la posición de $a$ es decir $b$ y $2b$.

Caso 1. $a \leq b$.

Entonces $$ (a+b)(x+y) \leq (a+b)(\frac{100}{b}+\frac{50}{b})=150\frac{a+b}{b} \leq 150\frac{b+b}{b}=300. $$

Caso 2. $b \leq a \leq 2b$.

Entonces $$ (a+b)(x+y) \leq (a+b)(\frac{100}{a}+\frac{50}{b})= 150+\frac{100b}{a}+\frac{50a}{b}= 300-\frac{50(a-b)(2b-a)}{ab} \leq 300. $$

Caso 3. $2b \leq a$.

Entonces $$ (a+b)(x+y) \leq (a+b)(\frac{100}{a}+\frac{100}{a})=200\frac{a+b}{a} \leq 200\frac{a+\frac{a}{2}}{un}=300. $$

Answer 2

Suponer sin pérdida de generalidad que $a\le b$ $x\le y$

$$ax+by\le 100+50=150 $$

Por los reordenamientos de la desigualdad,

$$ay+bx\le ax+by\le150$$

La adición de ambos, hemos terminado.