Motivación para el estudio de las álgebras cuadráticas, álgebras de Koszul, dualidad de Koszul

Question

Estoy tratando de obtener una comprensión práctica de la dualidad Koszul en diferentes áreas de las matemáticas. Buscando en Internet, hay muchas caracterizaciones y explicaciones homológicas que uno encuentra, pero me gustaría tener ejemplos concretos de dónde la dualidad de Koszul es una buena forma de ver un resultado, o dónde nos proporciona nuevos resultados. Si alguien fuera capaz de explicar, por ejemplo:

1. ¿Por qué es útil el álgebra Ext (álgebra de Yoneda) (y la forma en que caracteriza la koszulidad)?

2. ¿Existe una forma más elemental de explicar algunos de los resultados y aplicaciones del documento Beilinson-Ginzburg-Soergel Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación ?

3. Me cuesta entender las motivaciones de Manin para considerar las álgebras cuadráticas como espacios no conmutativos, cfr. "Quantum groups and noncommutative geometry". ¿Puede alguien comentar esto?

4. ¿Cuáles son las aplicaciones de las álgebras de Koszul? Ejemplo: Sé que por un resultado de Fröberg toda variedad proyectiva tiene un anillo de coordenadas homogéneo que es Koszul, pero ¿qué nos aporta esto realmente?

Estos son algunos de los ejemplos que se me ocurren, pero no dude en añadir otros fenómenos. Además, dime si crees que hay una forma de mejorar esta pregunta.

Answer 1

El complejo de Koszul y los datos cuadráticos surgen en la cuantificación de la deformación de las estructuras cuadráticas de Poisson: se puede demostrar un importante resultado sobre la realización cuantificada a través de los generadores y las relaciones de los datos cuadráticos, la teoría de Morita derivada de $A_{\infty}$ -módulos o introducir la dualidad Koszul de las categorías derivadas exóticas de las estructuras dg. Si está interesado en estos temas puede leer

http://arxiv.org/abs/0911.4377 (generadores y relaciones)

http://arxiv.org/abs/1206.2846 (equivalencia de Morita derivada en el $A_{\infty}$ ajuste)

http://arxiv.org/abs/0905.2621 (categorías exóticas derivadas y dualidad de Koszul)