Ejemplo de un simpléctica colector con propiedades

Question

Hay un ejemplo de un sencillo conectado, compacto, simpléctica colector $(M,\omega)$ tal que $\omega|_{\pi_2(M)}=0$ (en el sentido de que $\int_{S^2} \sigma^* \omega=0$ para cualquier liso mapa de $\sigma: S^2 \to M$)? Preferiblemente con $\pi_2(M)$ ser libre.

Esta pregunta está motivada debido a la usual hipótesis hechas en $(M,\omega)$ en orden para la acción funcional a estar bien definidos.

Answer 1

Por el Teorema de Hurewicz, hay un isomorfismo $\pi_2(M) \to H_2(M; \mathbb{Z})$$[f] \mapsto f_*[S^2]$. Como en la continua mapas entre suave colectores son siempre homotópica para suavizar los mapas, hay un representante de $[f]$, se $\sigma$, que es lisa. En particular, todos los $A \in H_2(M; \mathbb{Z})$ es de la forma $\sigma_*[S^2]$ para algunos liso mapa de $\sigma : S^2 \to M$.

Tenga en cuenta que

$$\int_{S^2}\sigma^*\omega = \langle[\sigma^*\omega], [S^2]\rangle_{S^2} = \langle\sigma^*[\omega], [S^2]\rangle_{S^2} = \langle[\omega], \sigma_*[\omega]\rangle_M$$

donde el ángulo entre paréntesis indican la vinculación entre el segundo cohomology y homología.

Ahora, considere el mapa de $\Phi : H_2(M; \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$$A \mapsto \langle[\omega], A\rangle_M$. Si $\int_{S^2}\sigma^*\omega = 0$ por cada liso mapa de $\sigma : S^2 \to M$, luego por la observación anterior, $\Phi(A) = 0$ cualquier $A$ en la imagen del mapa de $H_2(M; \mathbb{Z}) \to H_2(M; \mathbb{R})$.

Por el Universal Coeficiente de Teorema, hay una breve secuencia exacta

$$0 \to H_2(M; \mathbb{Z})\otimes\mathbb{R} \to H_2(M; \mathbb{R}) \to \operatorname{Tor}(H_1(M; \mathbb{Z}), \mathbb{R}) \to 0.$$

Como $\mathbb{R}$ es de torsión libre, vemos que $H_2(M; \mathbb{R}) \cong H_2(M; \mathbb{Z})\otimes\mathbb{R}$; de hecho, el mismo argumento muestra que el $H_k(M; \mathbb{R}) \cong H_k(M; \mathbb{Z})\otimes\mathbb{R}$ cualquier $k$.

De ello se deduce que la imagen de $H_2(M; \mathbb{Z})$ $H_2(M; \mathbb{R})$ es una base para $H_2(M; \mathbb{R})$ $\Phi$ es el cero mapa. Por la dualidad de Poincaré, debemos tener $[\omega] = 0$, pero esto es imposible como una forma simpléctica en un circuito cerrado en el colector nunca es exacta. Por lo tanto, no hay ningún ejemplo.