La introducción de un producto a la medida a partir de una secuencia de transición kernels

Question

Dado medibles espacios de $(\Omega_k,\mathcal {F_k })_{k=1 } ^n$, $P_1 $ una medida de probabilidad en $\Omega_1 $, $P_2 $ una transición núcleo de $\mathcal {F_1}$ a $\mathcal {F_2 }$,$P_3$ una transición núcleo de $\mathcal {F_1}\otimes \mathcal {F_2} $ a $\mathcal {F_3}$ ...$P_n $ una transición núcleo de $\mathcal {F_1}\otimes \ldots\otimes \mathcal {F_{n-1 }} $ a $\mathcal {F_n } \ $. Aquí $ \ P_m $ es una transición del núcleo de $\mathcal {F_1}\otimes \ldots \otimes \mathcal {F_{m-1 }} $ a $\mathcal F_m $ significa que por cada $B \in \mathcal {F_m } , \ P_m( \ , B) $ es una función medible de $\Omega_1 \times \ldots \times \Omega_{m-1 } $ a $[0,1]$ y por cada $(\omega_1,\ldots,\omega_{m-1 } ) \in \Omega_1 \times \ldots \times \Omega_{m-1 } $ una medida de probabilidad en $\mathcal {F_m} $.

Me gustaría mostrar que $$P(B)=\int P_1(d\omega_1) \int P_2(\omega_1,d \omega_2) \ldots \int 1_B(\omega_1,\ldots,\omega_n)P_n(\omega_1,\ldots,\omega_{n-1 } , d \omega_n)$$ defines a measure on $\Omega_1 \times \ldots\times \Omega_n $

Esto debe ser realizado por un argumento mediante la inducción. Que es una muestra que el $P$ es un countably aditivo función de conjunto sobre el conjunto de la medibles rectángulos $B_0\times \ldots\times B_n$ (y, a continuación, extender el conjunto de la función por los argumentos usuales). Para mostrar contables de la suma de $P $ medibles sobre los rectángulos que se derivan de este para $n=1 $ , y después el resultado a un número arbitrario $n$ con un argumento en el uso de la inducción. Y este paso inductivo es lo que necesito ayuda.

Para el caso base $n=1 $ uno haga lo siguiente:

Primera muestra de que $\omega_1 \mapsto \int 1_B(\omega_1,\omega_2)P_2(\omega_1,d \omega _2)$ es $\mathcal F_1 $ medibles y esto se hace exactamente como se suele hacer en un primer paso en el teorema de Fubini. Luego de señalar que $$B \mapsto \int P_1(d \omega_1)\int 1_B(\omega_1,\omega_2)P_2(\omega_1,d \omega _2)$$ is nonnegative and monotone all we need to verify is the $\sigma $-aditividad. Esto se deduce del teorema de convergencia monótona:

\begin{align*}\int P_1(d \omega_1)\int 1_{\cup_{k=1}^{\infty }F_k} (\omega_1,\omega_2)P_2(\omega_1,d \omega _2) &=\int P_1(d \omega_1)\sum_{k=1 }^ {\infty } \int 1_{F_k} (\omega_1,\omega_2)P_2(\omega_1,d \omega _2) \\ &=\sum_{k=1 }^ {\infty }\int P_1(d \omega_1) \int 1_{F_k} (\omega_1,\omega_2)P_2(\omega_1,d \omega _2). \end{align*}

Y el inductivo paso debería ser algo como: asumir que $$Q(B)=\int P_1(d\omega_1) \int P_2(\omega_1,d \omega_2)\ldots\int 1_B(\omega_1,\ldots,\omega_{n-1 } )P_{n-2 } (\omega_1,\ldots,\omega_{n-2 } , d \omega_{n-1 } )$$ defines a measure on $\Omega_1 \times \ldots\times \Omega_{n-1 }$ entonces

\begin{align*} & \int P_1(d\omega_1) \int P_2(\omega_1,d \omega_2)\ldots\int 1_{B_0 \times \ldots \times B_n}(\omega_1,\ldots,\omega_n)P_n(\omega_1,\ldots,\omega_{n-1 } , d \omega_n) \\ &=\int 1_{B_0 \times \ldots \times B_{n-1}} \left(\int 1_{B_n } P_n(\omega_1,\ldots,\omega_{n-1 } , d \omega_n) \right) Q(d \omega_1,\ldots,d \omega_{n-1 } ) \end{align*} Y estaríamos en una situación similar como en el caso base.

Mi pregunta es: Si esto es correcto, ¿cómo es la igualdad de la motivación? O si no, ¿cómo debería el paso inductivo?

Gracias de antemano!

Answer 1

Vamos a empezar con una técnica lema que vamos a utilizar varias veces:

Lema. Deje $(\Omega_i,\mathcal{F}_i)$, $i=1,2$,se puede medir los espacios, y deje $P$ una transición núcleo de $\mathcal{F}_1$ a $\mathcal{F}_2$. Si $$X:(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$ is a bounded measurable mapping then $$(\Omega_1,\mathcal{F}_1) \ni \omega_1 \mapsto \int_{\Omega_2} X(\omega_1,\omega_2) \, P(\omega_1,d\omega_2) \in (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$ es medible.

La Idea de la prueba: Para $X=1_A 1_B$ con $A \in \mathcal{F}_1$ e $B \in \mathcal{F}_2$ la afirmación es inmediata y, a continuación, podemos extender el uso de un clásico de la monotonía de la clase de argumento.

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Para medir los espacios de $(\Omega_i,\mathcal{F}_i)$, $i \in \{0,\ldots,n\}$, y la transición de los kernels $P_i$ de $\mathcal{F}_0 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{i-1}$ a $\mathcal{F}_i$ conjunto

$$Q_n(\omega_0,B) := \int P_1(\omega_0,d\omega_1) \int P_2(\omega_0,\omega_1,d\omega_2) \ldots \int 1_B(\omega_1,\ldots,\omega_n) \, P_n(\omega_0,\ldots,\omega_{n-1},d\omega_n)$$

Reclamo: Para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ se mantiene para cualquier elección de medir los espacios, y la transición de los kernels que $Q_n$ es una transición del núcleo de $\mathcal{F}_0$ a $\mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_n$.

Base: Desde $Q_1(\omega_0,B) = P_1(\omega_0,B)$, la afirmación es obvia para $n=1$.

Inductivo paso: Supongamos que la afirmación se sostiene para algunos $n \in \mathbb{N}$. Deje $(\Omega_k,\mathcal{F}_k)$, $k \leq n+1$, se puede medir los espacios, y $P_i$ transición de los granos de $\mathcal{F}_0 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{i-1}$ a $\mathcal{F}_i$. Fijo $(\omega_0,\omega_1) \in \Omega_0 \times \Omega_1$ consideran

\begin{align*} &U((\omega_0,\omega_1),A) \\ &:= \int P_2(\omega_0,\omega_1,d\omega_2) \int P_3(\omega_0,\omega_1,\omega_2,d\omega_3) \ldots \int 1_{A}(\omega_2,\ldots,\omega_{n+1}) \, P_{n+1}(\omega_0,\ldots,\omega_n,d\omega_{n+1}) \end{align*}

para $A \in \mathcal{F}_2 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$. Desde $P_i(\omega_0,\omega_1,\cdot)$, $i \in \{2,\ldots,n+1\}$ son de transición de los granos de $\mathcal{F}_2 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{i-1}$ a $\mathcal{F}_i$, se desprende de nuestro inducción de la hipótesis de que la $U$ es una transición del núcleo de $\mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{F}_1$ a $\mathcal{F}_2 \otimes \ldots \times \mathcal{F}_{n+1}$. Por el lema anterior, esto implica que $$(\Omega_0 \times \Omega_1, \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{F}_1) \ni (\omega_0,\omega_1) \mapsto \int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_{n+1}} 1_A(\omega_0,\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega}) \tag{1}$$ is measurable for any $Un \in \mathcal{F}_0 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$. In particular, $Q_{n+1}(\omega_0,B)$ está bien definido y

\begin{align*} Q_{n+1}(\omega_0,B) &= \int_{\Omega_1} \int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_{n+1}} 1_B(\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega}) \, P_1(\omega_0,d\omega_1) \tag{2} \end{align*}

para cualquier $B \in \mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$ e $\omega_0 \in \Omega_0$.

Ahora vamos a demostrar que $Q_{n+1}$ tiene las propiedades deseadas. Deje $(B_j)_{j \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$ ser pares distintos conjuntos y establecer $B:= \bigcup_{j \geq 1} B_j$. Desde $$1_B = \sum_{j \geq 1} 1_{B_j}$$ se desprende de la monotonía teorema de convergencia que

$$\int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_n} 1_B(\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega}) = \sum_{j \geq 1} \int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_{n+1}} 1_{B_j}(\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega})$$

para cualquier $(\omega_0,\omega_1) \in \Omega_0 \times \Omega_1$; tenga en cuenta que podemos aplicar el teorema de convergencia monótona, porque ya hemos demostrado que $U((\omega_0,\omega_1),\cdot)$ es una medida. La integración de ambos lados con respecto a $P_1$ podemos encontrar desde $(2)$ que

$$Q_{n+1}(\omega_0,B) = \int_{\Omega_1} \sum_{j \geq 1} \left( \int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_{n+1}} 1_{B_j}(\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega}) \right) P(\omega_0,d\omega_1).$$

Aplicando una vez más la monotonía teorema de convergencia obtenemos

\begin{align*} Q_{n+1}(\omega_0,B) & = \sum_{j \geq 1} \int_{\Omega_1}\left( \int_{\Omega_2 \times \ldots \times \Omega_{n+1}} 1_{B_j}(\omega_1,\tilde{\omega}) \, U((\omega_0,\omega_1),d\tilde{\omega}) \right) P(\omega_0,d\omega_1) \\ &= \sum_{j \geq 1} Q_{n+1}(\omega_0,B_j). \end{align*}

Esto demuestra la $\sigma$-addivity de $Q_{n+1}(\omega_0,\cdot)$. Por último, observamos que se sigue de $(1)$, $(2)$ y el lema que $$(\Omega_0,\mathcal{F}_0) \ni \omega \mapsto Q_{n+1}(\omega_0,B)$$ is measurable for any $B \in \mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$. Consequently, $Q_{n+1}$ is a transition kernel from $\mathcal{F}_0$ to $\mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_{n+1}$.

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La elección de $\Omega_0$ como un trivial espacio (por ejemplo, que consta de un solo elemento), se sigue inmediatamente que

$$P_n(B) = \int P_1(d\omega_1) \int P_2(\omega_1,d\omega_2) \ldots \int 1_B(\omega_1,\ldots,\omega_n) \, P_n(\omega_1,\ldots,\omega_{n-1},d\omega_n)$$

es una medida en $(\Omega_1 \times \ldots \times \Omega_n,\mathcal{F}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{F}_n)$ para cualquier probabilidad de medida $P_1$ a $(\Omega_1,\mathcal{F}_1)$ y cualquier transición kernels $P_i$.