Encontrar la matriz con el rango más bajo posible

Question

Encontrar los valores de $x$ para los que la matriz

\begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & x \\ \end{bmatrix}

tiene el rango más bajo.

Ya que el rango es la dimensión del espacio fila de a$A$, debo encontrar la $x$ para que la dimensión de la fila, el espacio es tan baja como sea posible. He realizado eliminación Gaussiana en $A$ a través de los siguientes pasos:

\begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & x \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & x \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{x} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x -\frac{1}{x} \\ \end{bmatrix}

Así que debo ahora vamos a $x - \frac{1}{x} = 0 $, más específicamente deje $x^2 = 1$ e lo $x = \pm 1$. En general, resultando en un total de más bajo rango de $2$.

Es esta la respuesta correcta? Y es la manera correcta de pensar acerca de preguntas como estas? Debería haber considerado el espacio nulo en su lugar? Gracias de antemano.

Answer 1

Su solución es correcta.

Para una alternativa, un poco más intuitivo solución: observe que no importa el valor de $x$,

$$\left\{ \begin{bmatrix}x\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \right\} \text{ and } \left\{ \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\x\end{bmatrix} \right\}$$

ambos serán linealmente independientes conjuntos, y por lo que el rango mínimo es $2$. Tener rango $2$,

$$\left\{ \begin{bmatrix}x\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\x\end{bmatrix} \right\}$$ debe ser linealmente dependiente de conjunto.

Dos vectores son linealmente independientes si y sólo si uno es un múltiplo de la otra. Este es claramente el caso solamente de aquí al $x=1$ o $x=-1$, por lo que la matriz tiene un mínimo de rango cuando los $x = \pm 1$ como se llegó a la conclusión.

Para responder a tu otra pregunta: sí, esta es una buena manera de ir sobre esto. Su método es, de hecho, mejor que la mía para el caso más general. Yo sólo quería mostrar que en este caso se puede ver la respuesta sin necesidad de hacer ninguna reducción de la fila. Usted podría haber considerado el espacio nulo, pero por el rango de-nulidad teorema de esto es equivalente a lo que has hecho, ya que usted acaba de encontrar que el espacio nulo tiene dimensión $1$ lo que implica que el rango es $3-1=2$.